Импульс при абсолютно упругом столкновении

Question

Импульс при абсолютно упругом столкновении

Альма Альма

В данный момент я реализую эту упрощенную модель и пытаюсь понять физические концепции, лежащие в основе этой модели.

Таким образом, модель состоит из двух частей: во-первых, это прогнозирование столкновений, а затем — разрешение столкновений.

Часть разрешения коллизий говорит, что:

Когда два твердых диска сталкиваются, нормальная сила действует вдоль линии, соединяющей их центры (при условии отсутствия трения или вращения). Импульс ( $J_x, J_y$ ) из-за нормальной силы в направлениях x и y абсолютно упругого столкновения в момент контакта:
${Дж}_{Икс} "=" \frac{Дж Δ р Икс}{о}, {Дж}_{у} "=" \frac{Дж Δ у}{о}$ $J_x = \frac{J\Delta rx}\sigma, ~~J_y = \frac{J\Delta y}\sigma$ где $Дж "=" \frac{2 м_{я} м_{Дж} (Δ в \cdot Δ р)}{о (м_{я} + м_{Дж})}$ $J= \frac{2m_im_j(\Delta v\cdot \Delta r)}{\sigma(m_i + m_j)}$

и где $m_i$ и $m_j$ массы частиц $i$ и $j,$ и $\sigma, \Delta x, \Delta y$ и $\Delta v \cdot \Delta r$ определяются, как указано выше. Зная импульс, мы можем применить второй закон Ньютона (в форме импульса) для вычисления скоростей сразу после столкновения.

Может ли кто-нибудь рассказать мне о концепции, лежащей в основе приведенной выше формулы импульса? Меня особенно интересует, как импульс связан с $\sigma?$ Я пытался найти объяснение в Интернете, но ни в одном из руководств прямо не говорится о $\sigma.$

Я знаю, что мои знания ограничены (я никогда не посещал курсы по динамике или кинетике), но все же, если это можно объяснить простым языком, пожалуйста, не отказывайтесь от меня. Я также буду рад, если кто-нибудь укажет мне на онлайн-объяснение за пределами сайта.

Обновление, основанное на ответе @user115350. Я сделал это:

{Дж}_{Икс} "=" Дж потому что (θ) "=" Дж \frac{(Δ р {Икс}_{я} + Δ р {Икс}_{Дж})}{о_{я} + о_{Дж}}

$J_x = J \cos(\theta) = J \frac{(\Delta rx_i + \Delta rx_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$ и аналогично

{Дж}_{у} "=" Дж грех (θ) "=" Дж \frac{(Δ р у_{я} + Δ р у_{Дж})}{о_{я} + о_{Дж}}

$J_y = J \sin(\theta) = J \frac{(\Delta ry_i + \Delta ry_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$

Затем, основываясь на уравнениях скорости, работающих в обратном направлении, предложенных @lemon, я получаю следующее:

{Дж}_{Икс} "=" м_{я} (в {Икс}_{я}^{'} - в {Икс}_{я})

$J_x = m_i(vx_i^\prime - vx_i)$

{Дж}_{Икс} "=" м_{Дж} (в {Икс}_{Дж}^{'} - в {Икс}_{Дж})

$J_x = m_j(vx_j^\prime - vx_j)$

{Дж}_{у} "=" м_{я} (в у_{я}^{'} - в у_{я})

$J_y = m_i(vy_i^\prime - vy_i)$

{Дж}_{у} "=" м_{Дж} (в у_{Дж}^{'} - в у_{Дж})

$J_y = m_j(vy_j^\prime - vy_j)$

а потом это:

Дж "=" \frac{м_{я} Δ в {Икс}_{я} о}{Δ р {Икс}_{я} + Δ р {Икс}_{Дж}}

$J = \frac {m_i \Delta vx_i \sigma}{\Delta rx_i + \Delta rx_j}$

Дж "=" \frac{м_{Дж} Δ в {Икс}_{Дж} о}{Δ р {Икс}_{я} + Δ р {Икс}_{Дж}}

$J = \frac {m_j \Delta vx_j \sigma}{\Delta rx_i + \Delta rx_j}$

Дж "=" \frac{м_{я} Δ в у_{я} о}{Δ р у_{я} + Δ р у_{Дж}}

$J = \frac {m_i \Delta vy_i \sigma}{\Delta ry_i + \Delta ry_j}$

Дж "=" \frac{м_{Дж} Δ в у_{Дж} о}{Δ р у_{я} + Δ р у_{Дж}}

$J = \frac {m_j \Delta vy_j \sigma}{\Delta ry_i + \Delta ry_j}$

Итак, как я могу объединить эти 4 уравнения, чтобы получить исходную составную формулу J?

лимон

Вы можете работать в обратном направлении от уравнений, которые следуют за ними (например, интегрирование скорости). Более общий вывод также дан здесь: Wiki: Collision response . Чтобы ответить на ваш конкретный вопрос относительно

σ

$\sigma$ : Обратите внимание, что в точке столкновения

σ

$\sigma$ это расстояние между двумя частицами, поэтому

| Δ r | = σ

$|\Delta r|=\sigma$ . Другими словами, любой член вида

Δ r / σ

$\Delta r/\sigma$ это просто единичный вектор, соединяющий частицы. Так, например,

Δ v \cdot Δ r / σ

$\Delta v\cdot\Delta r/\sigma$ - относительная скорость частиц.

Альма Альма

@lemon Спасибо за ответ. Я попробовал то, что вы предложили, и просмотрел статью в Википедии, но до сих пор не понял, как в конце концов получить J. Можете ли вы взглянуть на мой обновленный вопрос?

прозрачныйZ

euclideanspace.com/physics/dynamics/collision/oned/index.htm Это может быть полезно. Я тоже не очень понимаю, как считать импульс.

Ответы (2)

Импульс при абсолютно упругом столкновении

Вы можете работать в обратном направлении от уравнений, которые следуют за ними (например, интегрирование скорости). Более общий вывод также дан здесь: Wiki: Collision response . Чтобы ответить на ваш конкретный вопрос относительно $\sigma$ : Обратите внимание, что в точке столкновения $\sigma$ это расстояние между двумя частицами, поэтому $|\Delta r|=\sigma$ . Другими словами, любой член вида $\Delta r/\sigma$ это просто единичный вектор, соединяющий частицы. Так, например, $\Delta v\cdot\Delta r/\sigma$ - относительная скорость частиц.
@lemon Спасибо за ответ. Я попробовал то, что вы предложили, и просмотрел статью в Википедии, но до сих пор не понял, как в конце концов получить J. Можете ли вы взглянуть на мой обновленный вопрос?
euclideanspace.com/physics/dynamics/collision/oned/index.htm Это может быть полезно. Я тоже не очень понимаю, как считать импульс.

лимон · Answer 1

Позвольте мне переключиться на векторную запись, где $v_i$ - скорость (вектор) мяча $i$ до столкновения и $v^\prime_i$ - скорость (вектор) сразу после столкновения.

Когда происходит столкновение, два шара сообщают друг другу равный, но противоположный импульс величины $J$ . Тогда скорости после столкновения определяются выражением

\begin{aligned} (*) & в_{1}^{'} & "=" в_{1} - Дж м_{1}^{- 1} \hat{н} \\ (* *) & в_{2}^{'} & "=" в_{2} + Дж м_{2}^{- 1} \hat{н} \end{aligned}

$\begin{align} v_1^\prime&=v_1-Jm_1^{-1}\hat{n} \tag{$*$} \\ v_2^\prime&=v_2+Jm_2^{-1}\hat{n} \tag{$**$} \end{align}$

где $m_i$ это $i$ -я масса и $\hat{n}$ — единичный вектор, соединяющий центры двух шаров в момент столкновения.

Если удар упругий, то по определению имеем

(в_{2}^{'} - в_{1}^{'}) \cdot \hat{н} "=" - (в_{2} - в_{1}) \cdot \hat{н}

$(v_2^\prime-v_1^\prime)\cdot\hat{n}=-(v_2-v_1)\cdot\hat{n}$

Теперь просто подставьте уравнения $(*)$ и $(**)$ в приведенное выше и переставить, и вы получите уравнение для $J$ .

Спасибо @лимон! Физика это весело! Несмотря на то, что у меня нет большого таланта, я нашел эту проблему интересной.

пользователь115350 · Answer 2

Импульс представляет собой вектор ( $\overrightarrow J= \overrightarrow F \triangle t$ ) и его абсолютное значение равно J. Таким образом, в этом случае он имеет две компоненты, и вектор можно записать $(J_x,J_y)$ . где,

{Дж}_{Икс} "=" Дж \cdot потому что (θ) "=" Дж \cdot \frac{△ р {Икс}_{я} + △ р {Икс}_{Дж}}{о_{я} + с я г м а_{Дж}}

$J_x=J\cdot \cos(\theta)=J\cdot \frac{\triangle rx_i + \triangle rx_j}{\sigma_i+sigma_j}$

И $J_y=J\cdot \sin(\theta)$ можно получить аналогично.

Спасибо за ваш ответ. Итак, правильно ли я понимаю, что хотя J является скалярным значением, но сам импульс является вектором ( $\vec J$ )? Я думаю, это то, что вызывает мое замешательство. Я не понял в формулах, как получается, что J является агрегированной величиной и в то же время разлагается на $J_x$ и $J_y$ .
Итак, мой следующий вопрос: как объединить две формулы ( $J_x$ и $J_y$ ), которые разлагаются на скалярные компоненты обратно в составное значение (в данном случае J)? Вы просто берете сумму этих двух компонентов и все?
Спасибо, ваш ответ очень помог понять, как моделировать эту систему.

Импульс при абсолютно упругом столкновении

Альма Альма

лимон

Альма Альма

прозрачныйZ

Ответы (2)

лимон

Альма Альма

пользователь115350

Альма Альма

Альма Альма

пользователь115350

Альма Альма

Почему резиновый мяч отскочил выше, чем стеклянный?

Сохранение энергии при падении мяча [дубликат]

Почему мяч отскакивает?

Упругое или неупругое столкновение твердого тела?

Анализ удара упругого тела о шероховатую поверхность

Какова функция верхней точки прыгающего мяча?

Деформация мяча при падении на твердую поверхность

Что происходит в автокатастрофе?

Зачем нам нужно включать импульс по строке?

Упругое столкновение и импульс