Интегралы Дарбу с делением пополам

Давайте позвоним ∫ а б ¯ ф ( Икс ) д Икс верхний интеграл Дарбу ф и ∫ а б _ ф ( Икс ) д Икс нижний.

Построим разбиение [ а , б ] в 2 н интервалы [ Икс к − 1 , Икс к ] определяется Икс к "=" а + к ( б − а ) / 2 н и соответствующие суммы Дарбу

Δ н "=" б − а 2 н ∑ к "=" 1 2 н Как дела Икс е [ Икс к − 1 , Икс к ] ф ( Икс ) , дельта н "=" б − а 2 н ∑ к "=" 1 2 н инф Икс е [ Икс к − 1 , Икс к ] ф ( Икс )

Я вижу, взяв определения Как дела и инф , и тот факт, что такие разделы являются подмножествами всех разделов [ а , б ] на счетное число отрезков с учетом того, что

лим н Δ н ≥ ∫ а б ¯ ф ( Икс ) д Икс , лим н дельта н ≤ ∫ а б _ ф ( Икс ) д Икс
Более того, в том случае, если два интеграла Дарбу совпадают, т. е. если ф интегрируема по Риману-Дарбу, я также вижу, следуя стандартным методам, используемым для доказательства того, что ∫ а б ¯ ф ( Икс ) д Икс "=" ∫ а б _ ф ( Икс ) д Икс если и только если ф интегрируема по Коши , то в таком частном случае равенство лим н Δ н "=" лим н дельта н "=" ∫ а б ф ( Икс ) д Икс , где ∫ а б ф ( Икс ) д Икс является интегралом Римана-Дарбу или Коши (это одно и то же).

интересно ли лим н Δ н "=" ∫ а б ¯ ф ( Икс ) д Икс и лим н дельта н "=" ∫ а б _ ф ( Икс ) д Икс держаться вообще, и как это можно доказать.

Я благодарю всех за любой ответ!

РЕДАКТИРОВАТЬ 22 марта 15: более общий результат здесь .

Ответы (1)

Требовать: лим н → ∞ дельта н "=" ∫ _ а б ф .

Обозначим через п раздел [ а , б ] , к л ( ф , п ) нижняя сумма Дарбу ф или раздел п и по п н раздел [ а , б ] в 2 н промежутки одинаковой длины (чтобы дельта н "=" л ( ф , п н ) .) Последовательность л ( ф , п н ) ограничено и возрастает. Позволять я — его предел, и предположим, что я < ∫ _ а б ф . Тогда существует раздел п такой, что я < л ( ф , п ) ≤ ∫ _ а б ф . Позволять п н * быть перегородкой, образованной точками п н и п . Пусть также М быть границей | ф | и К количество баллов в п . л ( ф , п н ) и л ( ф , п н * ) отличаются на промежутках п н которые содержат точки п . Затем

0 < л ( ф , п н * ) − л ( ф , п н ) ≤ 2 М К 2 − н ,
откуда
л ( ф , п н ) ≥ л ( ф , п н * ) − 2 М К 2 − н ≥ л ( ф , п ) − 2 М К 2 − н .
Принимая ограничения как н → ∞ мы получаем я ≥ л ( ф , п ) , противоречие.

Какое красивое доказательство. Точно так же, если лим н Δ н > ∫ а б ¯ , то существовало бы такое разбиение, что лим н Δ н > U ( ф , п ) и U ( ф , п н ) ≤ U ( ф , п ) + 2 М К 2 − н , что привело бы к аналогичному противоречию. Замечу также, что все сказанное справедливо и для разбиения на интервалы меры к − н для любого к е Н ∖ { 0 , 1 } . Очень интересно. ¡Le agradezco de todo corazón, gentilísimo Profesor!
Интегралы Дарбу с делением пополам
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v