Исчезновение тензора Риччи в высших измерениях пространства-времени

Я понимаю, как, если тензор Римана равен 0 во всех своих компонентах, поскольку мы строим тензор Риччи, сжимая риман, тензор Риччи также будет равен 0 во всех компонентах.

Я читал, что исчезновение тензора Риччи в трех измерениях пространства-времени подразумевает исчезновение тензора кривизны Римана , но в более высоких измерениях это не так.

Может кто-нибудь объяснить, почему так? Это потому, что у нас больше независимых компонент тензора Римана в 4 пространственно-временном измерении, чем в 3 (20 против 6)?

Также, если число независимых компонент тензора Римана в н размерность пространства-времени

Н ( н ) "=" н 2 ( н 2 − 1 ) 12

и поскольку мы знаем, что тензор Римана имеет 256 компонентов, ограничивает ли это пространственно-временные измерения его использования? Или это означает, что, например, в 10 пространственно-временных измерениях не будет независимых компонент тензора Римана?

Ответы (2)

Итак, давайте возьмем вашу формулу и установим н "=" 3 . Это дает вам Н "=" 9 ⋅ 8 12 "=" 6 . Хорошо, а сколько у вас независимых компонент тензора Риччи? Что ж, поскольку это симметричный тензор 3x3, у вас есть шесть независимых компонентов. Следовательно, в тензоре Римана нет места дополнительным компонентам. Так как, для н > 3 , у вас всегда будет меньше компонент тензора Риччи, чем тензора Римана (выясните, какая формула для независимых компонент симметричного н × н матрица), для более высоких измерений всегда будут дополнительные дополнительные компоненты.

Таким образом, ключ в том, что в более высоких измерениях в тензоре Римана больше независимых компонентов, и поэтому я не могу «покрыть» его тензором Риччи, поэтому, даже если тензор Риччи равен 0, некоторые компоненты тензора Римана не будут равны нулю, потому что этого. Правильно ли это рассуждение?
да. Обратите внимание, что решение Шварцшильда является плоским Риччи, так как Т а б "=" 0 . Это определенно не риманова плоскость.

Тензор Римана можно разложить на следовую часть и бесследовую часть:

р а б с д "=" С а б с д + 2 н − 2 ( г а [ с р д ] б − г б [ с р д ] а ) − 2 ( н − 1 ) ( н − 2 ) р г а [ с г д ] б ,

где бесследный объект С а б с д является тензором Вейля (конформным), а остаток определяется тензором Риччи и его сокращением, скаляром Риччи, где н это количество измерений и г а б является метрикой. В трех измерениях тензор Вейля равен нулю: это означает, что когда тензор Риччи равен нулю во всех компонентах, тензор Римана также равен нулю. Однако для н больше 3 тензор Риччи может быть равен нулю, а тензор Вейля не равен нулю.

Исчезновение тензора Риччи в высших измерениях пространства-времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v