Что порождает искривление, необходимое для скручивания дополнительных измерений?

Компактные дополнительные размеры не изогнуты, точнее, они не обязательно изогнуты.

В качестве аналогии можно начать с плоского листа бумаги и свернуть его в цилиндр. Внутренняя кривизна по-прежнему равна нулю, т. е. плоскоземец, ограниченный поверхностью, обнаружил бы, что геометрия по-прежнему евклидова. Цилиндр кажется нам изогнутым из-за того, как он встроен в наше трехмерное пространство.

Аналогично этому свертывание дополнительных пространственных измерений, хотя поверхность, которую они образуют, явно сложнее цилиндра. Долгое время предполагалось, что они образуют многообразие Калаби-Яу, хотя из-за того, что не удалось найти низкоэнергетическую суперсимметрию, я полагаю, что теперь это начинает подвергаться сомнению. В любом случае многообразие Калаби-Яу может быть внутренне плоским, как цилиндр, или, возможно, лучшим примером может быть шеститор.

Это не означает, что кривизна в дополнительных измерениях должна быть равна нулю, просто она может быть равна нулю.

Что касается стабилизации компактных размеров, то первым известным мне предложением для этого был механизм KKLT .

Прежде всего стоит отметить, что стандартная модель опирается на экзотические геометрии, если рассматривать их с геометрической точки зрения. Возьмем, к примеру, сильную силу. До квантования он описывается как$SU(3)$пучок над пространством-временем. Это просто означает, что пространство-время имеет «внутреннюю» геометрию, которая выглядит как$SU(3)$, а это группа, группа специальных унитарных преобразований в 3 комплексных измерениях; это трудно визуализировать, но есть более красивое топологическое описание, это$S^3$, 3-сфера, которая является поверхностью 4d сплошного шара.

Итак, у нас уже есть картина пространства-времени с экзотической геометрией. Если вы можете себе это представить, атом пространства-времени не 4d, а 7d; и эти атомы, в отличие от реальных атомов, не являются отдельными, а непрерывно изменяются от одной точки к другой. Кривизна пучка проявляется как напряженность поля.

Электромагнетизм аналогичен; на самом деле это был прямой предшественник теорий слабого и сильного взаимодействия, так что это неудивительно; здесь геометрия точки$U(1)$. Топологически это то же самое, что круг; поэтому нам нужно добавить еще одно измерение для этого. Это дает размерность точки пространства-времени 8d. Слабая сила добавляет$SU(2)$, и это топологически говоря двойное покрытие$SO(3)$, группа вращения в 3d. Он имеет 3 степени свободы. Итак, всего у нас есть 11 измерений в каждой пространственно-временной точке; или, другими словами, то же самое, 11 степеней свободы.

Теперь, в то время как теория бозонных струн равна 26d; главные претенденты, пять теорий суперструн - 10d; М-теория имела 11d. Так что в этих последних теориях мы недалеко ушли от фактических степеней свободы в точке пространства-времени.

Теперь это искривление пучка электромагнетизма, которое проявляется как напряженность электромагнитного поля; локально, после выбора базиса, оно распадается на электрическое и магнитное поля; аналогичную историю можно сказать и о других полях Янга-Милла — о слабом и сильном взаимодействии.

Все это до того, как теории будут фактически квантованы.

Здесь, вероятно, стоит добавить, что именно геометризация гравитации Эйнштейном вдохновила Вейля на введение аналогичной схемы для электромагнетизма — калибровочного принципа — и которая более полувека спустя привела к современной геометрической картине калибровочных теорий. Возникает вопрос, является ли эта геометрическая картина чем-то большим, чем математическим удобством, помогающим физикам и математикам лучше понять теорию и работать с ней. Речь идет о гравитации, она постулирует искривление пространства-времени. Теперь у нас есть прямое доказательство этого посредством гравитационного линзирования. Мы действительно можем видеть кривизну в действии.

Поскольку геометрия изменяется в очень большом, далеком от нашего обычного и повседневного опыта прямо здесь, на этой земле, можно прийти к мысли, что геометрия может изменяться и в очень малом. Вероятно, одним из первых доказательств, указывающих на это, является открытие спиноров. Майкл Атья сказал, что в некотором смысле они являются «квадратичным корнем из геометрии»; Другим свидетельством является эксперимент Аранова-Бома, который предполагает, что не электрическое или магнитное поле является фундаментальным, а электромагнитный потенциал, который первоначально считался удобным способом обсуждения физических проблем с электромагнетизмом. Это снова является выражением кривизны и входит непосредственно в связь электромагнитного поля с электроном в уравнении Дирака.

Разница между этим и теорией струн в том, что дополнительные измерения постулируются как реальное пространство; можно рассматривать это с чисто прагматической точки зрения, подобно тому, как теоретики элементарных частиц берут калибровочную теорию и думают о ней просто как о еще одном способе осмысления физики, чтобы получить полностью единую картину. В конце концов, такого рода пространственная картина уже доказала свою ценность в гильбертовом пространстве квантовых состояний, которое непосредственно вдохновлено нашим собственным трехмерным евклидовым пространством.

Что касается вашего другого вопроса о том, что порождает эту кривизну. Я не уверен, что этот вопрос вообще рассматривается в теории. Компактные размеры задаются условными обозначениями точно так же, как мы имеем их в классической теории поля, лежащей в основе стандартной модели. Главный вопрос здесь состоит в том, чтобы получить феноменологическое точное описание физики, которую мы все знаем и любим.

Кажется, что ОП требует «причинности», а не техники компактификации.

Предположение о существовании дополнительных измерений ведет нас по пути, который (1) предоставляет степени свободы для выражения калибровочных полей с помощью дифференциальной геометрии и (2) приводит к натуралистической проблеме. А именно, какой механизм оправдывает компактификацию. Теоретики не всегда хотят ответить на этот вопрос.

Следует отметить, что в первые дни теории объединения также играли с дополнительными измерениями, которые не были компактными, т.е. с дополнительными копиями R^1. Это решает задачу дополнительных полей. Появление геометрического описания электромагнитного поля и других полей было привлекательным, но также вводило дополнительные поля, с которыми никто не знал, что делать. Сначала они «желали их прогнать». Это привело к тому, что ЭМ встроена в геометрическую теорию более высокого измерения, но мы не можем понять, что делать с «дополнительными полями». Мало того, что эти дополнительные поля смущали теоретиков, оказалось, что «желание их убрать» приводит к конфигурации, которая не является решением уравнений поля. Это еще большая проблема, непоследовательность. Майкл Дафф (не уверенный на 100% в названии) возродил эти теории, показав, что можно построить теорию более высокого измерения, которая имеет исчезающие дополнительные поля, которые согласуются с уравнениями поля (большое дело). Использование компактных дополнительных измерений и принятие предела при стремлении радиуса к нулю приводит к законному исчезновению термов. Это означает, что известная нам физика может быть извлечена из этих теорий в некотором пределе. Это также означает, что если эти измерения ослабнут, мы "увидим" эти дополнительные поля, т.е. они могут возбудиться и иметь измеримый эффект в 4-мерном пространстве. Но ничто не объясняет, почему эти дополнительные пространственные степени свободы такие, какие они есть, это предполагаемая конфигурация, не нарушающая логической непротиворечивости. Это означает, что известная нам физика может быть извлечена из этих теорий в некотором пределе. Это также означает, что если эти измерения ослабнут, мы "увидим" эти дополнительные поля, т.е. они могут возбудиться и иметь измеримый эффект в 4-мерном пространстве. Но ничто не объясняет, почему эти дополнительные пространственные степени свободы такие, какие они есть, это предполагаемая конфигурация, не нарушающая логической непротиворечивости. Это означает, что известная нам физика может быть извлечена из этих теорий в некотором пределе. Это также означает, что если эти измерения ослабнут, мы "увидим" эти дополнительные поля, т.е. они могут возбудиться и иметь измеримый эффект в 4-мерном пространстве. Но ничто не объясняет, почему эти дополнительные пространственные степени свободы такие, какие они есть, это предполагаемая конфигурация, не нарушающая логической непротиворечивости.

Те же самые идеи связаны с современной калибровочной теорией, где группа внутренней симметрии связывается с многообразием. Отличие здесь в том, что многообразие группы внутренней симметрии «заморожено». Он не может дышать, расширяться или сжиматься. Он умирает, не имея собственной динамики. В теориях Калуцы-Клейна, поскольку дополнительные части многообразия обусловлены геометрией пространства-времени большего размера, а дополнительные измерения могут расширяться и сжиматься в соответствии с более многомерной версией уравнений Эйнштейна. Это должно позволить разработать теорию, объясняющую, «ПОЧЕМУ» размеры сжимаются и сжимаются. Я не могу сказать, разработал ли кто-нибудь явно такую ​​модель (не следил за литературой по этому вопросу). Но можно объяснить, почему одни измерения сужаются, а другие расширяются.

Но в качестве последнего замечания предположение о том, что дополнительные измерения открыты или замкнуты (линия или плоскость, окружность, сфера или другое многообразие), накладывает некоторые ограничения на топологию, а не на геометрию. Я не верю, что тензор энергии напряжения материала может фактически изменить топологию, т. е. каким-то образом превратить бесконечную линию в круг. Эти теории говорят о том, что если мы начнем с предположения, что дополнительные измерения закрыты (т. е. компактное многообразие), у нас есть шанс уменьшиться с помощью какого-то механизма.

Если вы действительно заинтересованы в том, чтобы узнать, как эти методы работают и развивались с течением времени, я рекомендую:

Введение в теорию относительности Питера Г. Бергмана

Рассвет калибровочной теории, Лохлинн О'Райфертай

Это могут быть старые книги, но они очень хорошие. В приложении к книге Бергмана есть вывод теории КК с одним дополнительным измерением.