Использование уравнений Эйлера для определения крутящего момента

Question

Использование уравнений Эйлера для определения крутящего момента

опыт ikx

Я пытаюсь решить крутящий момент, необходимый для вращения прямоугольной пластины со сторонами $a$ и $b$ , о диагонали с постоянной угловой скоростью $\omega$ .

Уравнения Эйлера имеют вид

я_{1} {\dot{ю}}_{1} + (я_{2} - я_{3}) ю_{2} ю_{3} "=" Н_{1},

$I_1\dot{\omega}_1 + (I_2 - I_3)\omega_2\omega_3 = N_1,$

я_{2} {\dot{ю}}_{2} + (я_{3} - я_{1}) ю_{3} ю_{1} "=" Н_{2},

$I_2\dot{\omega}_2 + (I_3 - I_1)\omega_3\omega_1 = N_2,$

я_{3} {\dot{ю}}_{3} + (я_{1} - я_{2}) ю_{1} ю_{2} "=" Н_{3},

$I_3\dot{\omega}_3 + (I_1 - I_2)\omega_1\omega_2 = N_3,$

где $I_1$ , $I_2$ и $I_3$ - главные моменты инерции твердого тела, $\omega_1$ , $\omega_2$ и $\omega_3$ - угловые скорости вокруг осей этих моментов инерции, а $N_i$ обозначает внешний крутящий момент, приложенный вдоль оси $\omega_i$ и $i$ = 1,2,3.

$\hskip2in$

Предположим, что для этой задачи $a > b$ .

я_{1} "=" \frac{М а^{2}}{12}, я_{2} "=" \frac{М б^{2}}{12}, я_{3} "=" \frac{М (а^{2} + б^{2})}{12}

$I_1 = \frac{M a^2}{12}, \quad I_2 = \frac{M b^2}{12}, \quad I_3 = \frac{M (a^2 + b^2)}{12}$

ю_{1} "=" \frac{ю б}{\sqrt{а^{2} + б^{2}}}, ю_{2} "=" \frac{ю а}{\sqrt{а^{2} + б^{2}}}, ю_{3} "=" 0

$\omega_1 = \frac{\omega b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \omega_2 = \frac{\omega a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \omega_3 = 0$

Из уравнений Эйлера находим, что

Н_{1} "=" 0 "=" Н_{2}, пока Н_{3} "=" \frac{М а б ю^{2}}{12 (а^{2} + б^{2})} (а^{2} - б^{2})

$N_1 = 0 = N_2, \text{ while } N_3 = \frac{Mab\omega^2}{12 (a^2+b^2)}(a^2 - b^2)$ .

Но это подразумевает, если $a = b$ , необходимый крутящий момент равен нулю. Как нам понять, что это интуитивно понятно, что для квадрата, шарнирно закрепленного на противоположных углах, требуется нулевой крутящий момент?

еранреш

Нужен ли внешний крутящий момент для вращения тела вокруг главной оси?

опыт ikx

Верно. Нам не нужен внешний крутящий момент, чтобы вращать тело вокруг любой из главных осей. Итак, просто ли для квадрата тензор инерции является диагональной матрицей, а для прямоугольника мы должны рассматривать ненулевые

I_{x y}

$I_{xy}$ и

I_{y x}

$I_{yx}$ ?

еранреш

Даже в случае прямоугольника

I

$I$ является диагональным. Ненулевой крутящий момент связан с тем, что

\vec{L}

$\vec{L}$ и

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ не указывайте в том же направлении. Поэтому,

\vec{L}

$\vec{L}$ прецессировать вокруг

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ .

опыт ikx

@eranreches Хорошо, теперь я понял. Этот крутящий момент возникает из-за

\vec{ω} \times \vec{L}

$\vec{\omega} \times \vec{L}$ так как они не указывают в одном направлении. А в случае квадратной пластинки эти векторы параллельны.

еранреш

Точно. Смотрите мой полный ответ ниже.

Ответы (1)

Использование уравнений Эйлера для определения крутящего момента

Нужен ли внешний крутящий момент для вращения тела вокруг главной оси?
Верно. Нам не нужен внешний крутящий момент, чтобы вращать тело вокруг любой из главных осей. Итак, просто ли для квадрата тензор инерции является диагональной матрицей, а для прямоугольника мы должны рассматривать ненулевые $I_{xy}$ и $I_{yx}$ ?
Даже в случае прямоугольника $I$ является диагональным. Ненулевой крутящий момент связан с тем, что $\vec{L}$ и $\vec{\omega}$ не указывайте в том же направлении. Поэтому, $\vec{L}$ прецессировать вокруг $\vec{\omega}$ .
@eranreches Хорошо, теперь я понял. Этот крутящий момент возникает из-за $\vec{\omega} \times \vec{L}$ так как они не указывают в одном направлении. А в случае квадратной пластинки эти векторы параллельны.
Точно. Смотрите мой полный ответ ниже.

еранреш · Answer 1

Позвольте мне расширить мои комментарии. В рамке Lab вы можете написать

\frac{д \vec{л}}{д т} "=" \vec{ю} \times \vec{л}

$\dfrac{{\rm d}\vec{L}}{{\rm d}t}=\vec{\omega}\times\vec{L}$

где $\vec{L}$ угловой момент и $\vec{\omega}$ угловая скорость. Теперь с тех пор $\vec{L}=\hat{I}\vec{\omega}$ и $\vec{\tau}=\dfrac{{\rm d}\vec{L}}{{\rm d}t}$ , надо

\vec{т} "=" \vec{ю} \times \hat{я} \vec{ю}

$\vec{\tau}=\vec{\omega}\times\hat{I}\vec{\omega}$

Следовательно, момент равен нулю тогда и только тогда, когда $\vec{\omega}\parallel\hat{I}\vec{\omega}$ , другими словами, если существует $\lambda$ такой, что

\hat{я} \vec{ю} "=" λ \vec{ю}

$\hat{I}\vec{\omega}=\lambda\vec{\omega}$

т.е. вращение вокруг одной из главных осей.

Использование уравнений Эйлера для определения крутящего момента

опыт ikx

еранреш

опыт ikx

еранреш

опыт ikx

еранреш

Ответы (1)

еранреш

Понимание внутренних сил при движении твердого тела

Сила в разных точках тела, не проходящая через центр масс [дубликат]

Как передается сила через тело?

Концептуальный вопрос о колесах

Почему легче идти в гору на пониженной передаче?

Работа, совершаемая трением покоя при качении при скольжении?

Как именно простые машины обеспечивают механические преимущества?

Крутящий момент от внутренних сил

Вывод T=F r=IαT=F r=IαT = F\ r = I\alpha для твердого тела

Зависит ли величина работы сил, действующих на каркас твердого тела?