Концептуальный вопрос о колесах

Вам не нужна никакая сила, чтобы заставить колесо двигаться, независимо от того, круглое оно или квадратное — по крайней мере, в идеализированном случае, когда энергия сохраняется. В реальной ситуации потери энергии у квадрата намного больше, чем у круга, но это зависит от многих факторов, а не только от формы колеса.

В случае круглого колеса, если нет трения, нечему тормозить колесо, и телега будет двигаться дальше без нужды лошадей.

В случае квадратного колеса скорость будет меняться со временем, потому что для того, чтобы квадрат прошел через диагональ, он должен сначала использовать часть кинетической энергии, чтобы поднять тележку вверх (и, следовательно, требуется какой-то минимальный начальный импульс для движения). ), после чего тележка начнет падать и возвращать кинетическую энергию обратно. В случае отсутствия трения это будет продолжаться периодически без помощи лошадей.

1) Сила, с которой эта лошадь должна тянуть, чтобы телега двигалась с постоянной скоростью через D с

Такого нет, сила постоянно меняется, а интегрированная сила равна нулю (без учета потерь в оси и т.п.).

Я думаю, что более полезно рассчитать максимальную силу. В случае квадратного колеса это происходит, когда одна из сторон колеса плашмя прилегает к земле. Вы можете себе это представить, я уверен. Теперь я добавлю небольшой поворот, чтобы получить случай, который вы на самом деле ищете — трение между поверхностью колеса и землей бесконечно — мы хотим, чтобы наше колесо вращалось, а не скользило.

Рассмотрим тележку, когда она уравновешена одним углом колеса. В этом случае сила, необходимая для перемещения тележки, равна нулю — даже легкое прикосновение заставит ее начать вращаться вперед самостоятельно. Это продолжается, отрицательная сила, пока сторона колеса снова не упрется в землю. В этот момент у вас снова максимальная сила.

Так какой же это максимум? Это просто сила, необходимая для подъема тележки по наклону от оси до «переднего» угла. Представьте себе квадрат, проведите линию от центра к углу. Что это за угол? 45 градусов. Таким образом, сила равна F = W(cart) sin(45) = 70 Н.

Итак, общая формула — это просто синус максимального угла между углом и осью. То есть 90 - (внутренний угол угла/2). Итак, для равнобедренного треугольника это 90 - (60/2) = 60, а для шестиугольника это 90 - (120/2) = 30. Для круга это 90 - (180/2) = 0. Таким образом, треугольник сложнее , шестиугольник меньше, а круг ноль.

Суммарная сила равна нулю, потому что сила, необходимая для подъема тележки, равна той, которую вы получите, когда она опустится с другой стороны .

И, как отмечали другие, это относится только к силе, необходимой для поворота колеса, без учета эффектов скольжения, трения в оси и ускорения массы. Для того, о чем вы спрашиваете, ноль разумен для всего этого.

Возьмем первый случай, когда колесо квадратное. В этом случае будет два подслучая. (i) Проскальзывание между поверхностью и колесом (ii) Отсутствие режима сна.

(i) Если есть проскальзывание между колесом и поверхностью, не имеет значения, является ли колесо квадратным, круглым или многоугольным. Он может вращаться или нет. Также не будет никакой другой формулы, кроме простого баланса сил на колесе.

(ii) Если нет проскальзывания между квадратным колесом и поверхностью, крутящий момент будет учитываться. На колесо действуют две силы: сила трения покоя и сила, приложенная к оси колеса. Если учесть вращение в угловой точке колеса, крутящий момент из-за трения станет равным нулю. Будет только крутящий момент из-за оси, которая будет вращать колесо в соответствии с уравнением$\tau = I \alpha$. Максимальное значение силы можно вычислить в этом случае, применяя условие опрокидывания. Чтобы опрокинуть квадратное колесо, вам понадобится крутящий момент, противоположный крутящему моменту, создаваемому нормальной реакцией. Максимальное значение крутящего момента будет$\tau = Nr$.

N = нормальная реакция r = длина одной стороны квадрата/2

Теперь, когда вы увеличиваете количество сторон в многоугольнике, длина стороны многоугольника будет продолжать уменьшаться. Поскольку максимальная сила, необходимая для опрокидывания колеса,$Nr$, это также будет продолжать снижаться.

В случае колеса, поскольку число сторон стремится к бесконечности или, другими словами, длина стороны многоугольника с бесконечными сторонами стремится к нулю. (Колесо представляет собой многоугольник с каждой стороной нулевой длины). Таким образом, в случае колеса для его опрокидывания не требуется силы, или, другими словами, легкий толчок также сможет вращать колесо, независимо от того, какой вес находится на колесе. (Обратите внимание, что мы предполагаем, что колесо здесь является абсолютно твердым телом, т.е. в колесе нет деформации).

В реальной жизни нет идеального тела, и из-за этого нормальная реакция и трение будут меняться, и, следовательно, значение максимальной требуемой силы изменится в случае круглого колеса.

Таким образом, на самом деле нет необходимости создавать общую формулу для этого, мы можем просто применить уравнение баланса сил и рассчитать максимальное требуемое усилие.

Грубо говоря, когда вы пытаетесь вытащить квадратное колесо за угол, возникает сила, потому что вы поднимаете всю машину на длину диагонали.$r$а затем позволить ему естественным образом «рухнуть на землю» по радиусу$r\sqrt2/2$, где$r$это радиус описанной окружности квадрата.

Общее расстояние вперед, которое вы получаете каждый раз, когда делаете это, равно длине одной стороны.$r\sqrt2$. И теперь энергия (работа), деленная на пройденное расстояние, является средней силой. Но поскольку энергия$mg~\Delta h$где$\Delta h$это изменение высоты над землей, которую испытывает автомобиль, вы имеете силу, пропорциональную нормальной силе, и, таким образом, вы, по сути, имеете коэффициент динамического трения, который в данном случае равен$(1-\sqrt{2}/2)/\sqrt{2}$, около 0,2, что, согласно онлайн-таблице, похоже на дерево на дереве, это существенное сопротивление для того, что вы номинально пытались не тянуть . (Есть также соображения о том, управляете ли вы этим двигателем или пытаетесь тащить его, вращаются ли колеса, какая максимальная сила вам нужна, чтобы сдвинуть эту вещь вперед, в отличие от этого расчета средней силы . .)

Обобщение на$N$стороны, внутренний радиус$r\cos(\pi/N)$и длина стороны на самом деле$2 r \sin(\pi/N)$, и поэтому ваша общая формула