Как гравитация может влиять на свет?

Закон Ньютона действительно предсказывает искривление света. Однако он предсказывает значение, которое в два раза меньше, чем фактически наблюдаемое.

Уравнение Ньютона для гравитации дает силу:

поэтому ускорение меньшей массы,$m$, является:

Если частица безмассовая, то$m/m = 0/0$и это не определено, однако, если мы возьмем предел$m \rightarrow 0$ясно, что ускорение для безмассового объекта просто обычное$a = GM/r^2$. Это означает, что фотон будет отклоняться под действием ньютоновской гравитации, и вы можете использовать этот результат для расчета отклонения из-за массивного объекта с результатом:

Расчет подробно описан в этой статье . Релятивистский расчет дает:

Цель экспедиции Эддингтона 1919 года заключалась не в том, чтобы показать, что свет изгибается, когда его не ожидалось, а в том, чтобы показать, что искривление было в два раза больше, чем ожидалось.

В принципе можно рассмотреть пространство-время Шварцшильда:

$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{r}} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2\right)$

Тогда лагранжиан геодезических определяется как:

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[- \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \frac{\dot{r}^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2\right]$

После применения уравнений Эйлера-Лагранжа и использования того факта, что S-метрика сферически симметрична и статична, можно получить орбитальное уравнение для света как (после определения$u = 1/r$) как:

$\frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = 3 M u^2$.

Разгадать эту ОДУ довольно сложно. На самом деле, я не думаю, что существует решение в закрытой форме. Можно применить метод возмущений. Определение прицельного параметра$b$, можно получить анзац-решение этого ОДУ как:

$u = \frac{1}{b} \left[\cos \phi + \frac{M}{b} \left(1 + \sin^2 \phi\right)\right]$.

Можно вывести следующую зависимость:

$u\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\delta \phi}{2}\right) = 0$,

куда$\delta \phi$это угол отклонения.

Теперь, наконец, Тейлор расширяется$u$выше вокруг$\pi/2$, можно показать, что на самом деле:

$\delta \phi = \frac{4M}{b}$,

что является требуемым результатом.

В этом ответе выводим формулу для угла отклонения

$$\theta ~=~\frac{2GM}{b}\left(\frac{1}{v_0^2} + \frac{1}{c^2}\right) +{\cal O}(M^2) \tag{1}$$

частицы (массивной или безмассовой) в пространстве- времени Шварцшильда . Здесь$b$– прицельный параметр и$v_0$- асимптотическая скорость (которая для безмассовой частицы равна$c$). Ньютоновский предел$c\to \infty$.

Набросанное доказательство:

1. По сферической симметрии мы можем принять плоскость орбиты = экваториальную плоскость:$\theta=\frac{\pi}{2}$. Начнем с геодезических уравнений

   $$\hspace{-5em}\begin{align} E~=~&n^{-1}\frac{dt}{d\lambda} , \cr n^{-1} ~:=~&1 - \frac{r_s}{r}, \cr r_s~:=~&\frac{2GM}{c^2}, \end{align}\tag{5.61/7.43/6.3.12}$$ $$\hspace{-5em} L~=~r^2\frac{d\phi}{d\lambda}, \tag{5.62/7.44/6.3.13}$$ $$\hspace{-5em}\begin{align} \epsilon c^2~=~&n^{-1}c^2 \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 \cr ~-~&n\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 -r^2\left(\frac{d\phi}{d\lambda}\right)^2, \end{align}\tag{5.55/7.39/6.3.10}$$ ср. исх. 1-3. Здесь $$[\lambda]=\text{Time}, \qquad [E] ~=~\text{dimensionless}, \qquad [L] ~=~\frac{\text{Length}^2}{\text{Time}}. \tag{2}$$

   • Массивная частица:$\epsilon=1$и$\lambda=\tau$подходящее время.

   • Безмассовая частица:$\epsilon=0$и$\lambda$не подходящее время.

   Это ведет к

   $$\hspace{-5em} \begin{align} \underbrace{ (cE)^2 }_{\text{"energy"}} ~=~& \underbrace{ \left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 }_{\text{"kinetic energy"}}\cr ~+~& \underbrace{n^{-1}\left(\frac{L^2}{r^2}+\epsilon c^2 \right) }_{\text{"effective potential energy"}}. \end{align}\tag{5.64/7.46/6.3.14}$$ Читатель может задуматься над тем,$\epsilon$приводит к разрыву угла$\theta$прогиба (1) между массивным и безмассовым случаем? Ниже мы увидим, что это не так.

2. В: Как мы определяем константы движения$E$и$L$с наблюдаемыми$b$и$v_0$в пространственной бесконечности$r=\infty$? О: Обратите внимание, что

   $$\begin{align}r v_{\phi}~:=~ r^2\frac{d\phi}{dt}\quad\longrightarrow&\quad bv_0~=~h~=~\frac{L}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty, \end{align}\tag{3}$$ и $$\begin{align}\frac{dr}{dt} \quad\longrightarrow&\quad v_0~=~c\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty.\end{align}\tag{4}$$ уравнение (4) означает, что постоянная энергии равна$E=\gamma_0=\left(1-\frac{v_0^2}{c^2}\right)^{-1/2}$в массивном случае и неопределенным в безмассовом случае.

3. Если мы определим обратную радиальную координату

   $$u~:=~\frac{1}{r},\tag{5}$$ получаем многочлен 3-го порядка$^1$ $$\begin{align} \left(\frac{du}{d\phi}\right)^2~=~&P(u)\cr ~:=~&\left(\frac{cE}{L}\right)^2 - n^{-1}\left(u^2+\frac{\epsilon c^2}{L^2}\right) \cr ~=~&r_s(u-u_+)(u-u_-)(u-u_0),\end{align}\tag{6}$$ с 3 корнями $$\begin{align}u_{\pm}~=~&\pm\frac{c}{L}\sqrt{E^2-\epsilon} ~+~\frac{r_s}{2}\left(\frac{cE}{L}\right)^2~+~{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\pm \frac{1}{b}~+~\frac{GM}{h^2}~+~{\cal O}(M^2) ,\end{align} \tag{7}$$ и
   $$u_0~=~\frac{1}{r_s} +{\cal O}(r_s) .\tag{8}$$

4. В процессе рассеяния обратная радиальная координата$u$идет от 0 к корню$u_+$а затем обратно к 0. Затем полуугол равен

   $$\begin{align}\phi&~~~\stackrel{(6)}{=}~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{P(u)}} \cr &~~~=~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{(u_+-u)(u-u_-)\left(1-r_su\right)}} \cr &\stackrel{u=u_+x}{=}~\int_0^1 \! \frac{dx}{\sqrt{(1-x)(x+\alpha)}}\left(1+\beta x\right) +{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\beta\sqrt{\alpha}+(\alpha\beta+\beta+2)\arctan\frac{1}{\sqrt{\alpha}}+{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\arctan\left(1+\frac{r_s }{2b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2)\cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{r_s }{4b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2), \end{align}\tag{9}$$ где мы определили $$\begin{align} \alpha~:=~&-\frac{u_-}{u_+}\cr ~=~&1-\frac{r_s}{L}\frac{E^2}{\sqrt{E^2-\epsilon}} +{\cal O}(r_s^2) \cr ~=~&1-\frac{r_s }{b}\frac{c^2}{v_0^2} +{\cal O}(r_s^2)\end{align} \tag{10}$$ и $$\begin{align} \beta~:=~&\frac{r_s}{2}u_+ ~=~\frac{r_s}{2}\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{L}+{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\frac{r_s}{2b} +{\cal O}(r_s^2). \end{align}\tag{11}$$ Постоянная$\beta$исчезает в ньютоновском пределе$c\to \infty$.

5. Наконец, мы можем вычислить угол отклонения

   $$\begin{align}\theta ~=~&2\left(\phi-\frac{\pi}{2}\right)\cr ~\stackrel{(9)}{=}~&\frac{r_s}{b}\left(1 + \frac{c^2}{v_0^2}\right) +{\cal O}(r_s^2),\end{align}\tag{12}$$ что и является искомой формулой (1).$\Box$

Использованная литература:

1. Шон Кэрролл, Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , 2003; Раздел 5.4.

2. Шон Кэрролл, Конспект лекций по общей теории относительности , глава 7. Файл в формате pdf доступен здесь .

3. Р. Вальд, GR, 1984; Раздел 6.3.

--

$^1$В ньютоновском пределе$c\to \infty\leftrightarrow r_s \to 0$полином 3-й степени (6) заменяется полиномом 2-й степени

1) Искривление световых лучей является общим релятивистским эффектом, а не следствием закона всемирного тяготения Ньютона.

2) Вероятно, лучше думать об этих вещах с точки зрения поля — распределение массы-энергии перемещается, и это создает гравитационное поле. Затем, когда вещи входят в это поле, они взаимодействуют с ним, и это меняет их движение. У этих вещей может быть СОБСТВЕННОЕ гравитационное поле, которое может двигать первые вещи или что-то еще, но они просто взаимодействуют с полем, а не с распределением материи, которое создало поле.

Я думаю, чего не хватало ОП, так это принципа эквивалентности между массой и энергией, а также того факта, что световые лучи изгибаются даже в вакууме, и даже если это изгибание показывает настолько тонкую кривизну, что остается далеко за пределами нашего восприятия без увеличительного оборудования.

Как указал Виктор Тот на странице https://www.researchgate.net/post/Why_do_you_think_that_gravitational_lensing_is_due_to_time_dilation_Can_it_be_due_to_length_contraction , гравитационное замедление времени и гравитационное сокращение длины, по-видимому, в равной степени участвуют в отклонении световых лучей притягивающими объектами, как это было подтверждено в 1919 году. затмение, упомянутое Джоном Ренни: Некоторое такое отклонение было принято как эффект теории гравитации Ньютона и было точно удвоено Эйнштейном, что привело к первому экспериментальному подтверждению ОТО.

Самое интересное в этом для меня то, что пространственный аспект рассматриваемой кривизны, по-видимому, был обнаружен более чем через столетие после его временного аспекта: форма объектов, таких знакомых, как луна, наводит на мысль о пространственной кривизне, но понимание времени, по-видимому, представляло больший интерес.

Если предположить, что масса света строго равна нулю, ньютоновская гравитация будет производить нулевую силу. Однако орбита света определяется ускорением, а не силой. Для нулевой массы ускорение не определено . В пределе, когда масса фотона стремится к нулю, сила стремится к нулю, но ускорение, конечно, не зависит от массы фотона. Следовательно, можно просто применить ускорение Ньютона к объекту, движущемуся со скоростью c. Это приводит к значению статьи Эйнштейна 1911 года, которое составляет половину предсказания ОТО и экспериментального значения. См. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitaional_lens #History.

Это просто простая концепция в соответствии с теорией относительности Эйнштейна, когда свет проходит через сильное гравитационное поле или объект с большой массой (то есть то же самое, когда объект имеет большую массу, что означает, что он может притягивать другие объекты с меньшей массой), фотоны, присутствующие в свете, притягиваются к другой объект, и мы видим искривление света во Вселенной, но есть одна вещь, нужно отметить, что фотоны являются безмассовыми материями, но в этом случае объект с большей массой притягивает объект с меньшей массой, если она равна 0.