Как космические агентства выбирают даты прибытия к планетам (например, Меркурию) с гравитационного ассистента (например, Венеры)?

Ответ @ JohnMcCarthy хорошо описывает схему общего подхода, и я возьму это и рассмотрю некоторые сомнительные детали, стоящие за ним.

Мой ответ описывает более практичный метод грубой силы; однако этот ответ указывает на более мощный инструмент, EMTG НАСА (у меня нет опыта работы с ним).

Как правило, поиск по широкой траектории выполняется (решение проблемы Ламберта ), чтобы найти окна запуска с низким энергопотреблением. Короче говоря: найдите траектории (из большего набора дат; 2020-2030 гг.), затем выберите конкретные даты, а не наоборот.

Решатель Ламберта принимает две позиции и время полета между ними в качестве входных данных. Он может выводить многое, но для планирования помощи гравитации идеально выводит вектор гиперболических избыточных скоростей,$\vec{v_{\infty}}$(родственник планеты). Многие решатели фактически выводят вектор скорости гелиоцентрической переходной орбиты в начальном и конечном положениях (положениях планет). Они могут быть легко преобразованы в$\vec{v_{\infty}}$значений путем вычитания вектора скорости планеты. Вектор состояния планеты (положение и скорость) можно найти с помощью эфемерид разработки JPL ( веб-интерфейс HORIZONS , SPICE ). Конечным результатом будет одна двумерная матрица$\vec{v_{\infty}}$значения (технически 3D: дата отправления, дата прибытия, компонент xyz) для отправления и одно для прибытия.

Для запуска величина$\vec{v_{\infty}}$обычно выражается как характеристическая энергия ,$v_{\infty}^2$, для использования с выбором ракеты-носителя ( инструмент калькулятора производительности ракеты-носителя НАСА! ).

Выполнение «поиска по широкой траектории» означает использование решателя Ламберта для каждого набора даты запуска (ось X) и даты прибытия (ось Y), поскольку дата дает вам вектор состояния планеты. Затем результаты фильтруются по некоторым ограничениям миссии (макс. C3 или$\Delta V$и т. д.) и может быть построен в виде графика свиной отбивной , как этот поиск от Земли до Венеры в 2026 году:

($V_{hp}$гиперболическая избыточная скорость)

В этот момент становится (относительно) легко выбирать даты, хотя и для прямой траектории без помощи гравитации.

Вы можете думать о предложенной вами траектории Земля-Венера-Меркурий как о двух отдельных этапах путешествия: этап 1 — от Земли до Венеры, а этап 2 — от Венеры до Меркурия. Если вы выполните поиск широкой траектории для каждого этапа (с перекрывающимися датами Венеры), у вас останется четыре матрицы$\vec{v_{\infty}}$ценности; однако два из них представляют одну и ту же метрику:$v_{\infty}$на Венере. Если для заданного набора из трех дат (отъезд Земли, пролет Венеры*, прибытие Меркурия)$v_{\infty}$на Венере из Этапа 1 такое же (или очень близкое), что и для Этапа 2, то возможна свободная гиперболическая помощь гравитации . Это связано с тем, что гравитационная помощь представляет собой гиперболическую орбиту вокруг Венеры, а$v_{\infty}$параметр постоянен для любой орбиты (в двухчастичном приближении).

*переход через планетарную систему занимает конечный отрезок времени, таким образом, одно и то же предположение о дате/времени для сопоставления$v_{\infty}$приблизительно, но для малых планет разумно. Для Юпитера (и, вероятно, Сатурна) гиперболическая траектория обычно занимает более одного дня, что компенсирует$v_{\infty}$сопоставление по дням является лучшим приближением.

В этот момент вы можете задаться вопросом, почему мы хотели$\vec{v_{\infty}}$вектор, а не только его величина. Критически, хотя мы совпали$v_{\infty}$между ног, мы еще не определили, возможна ли эта гравитационная поддержка.

Глядя на уравнение для угла отклонения,$\delta$, на этом изображении:

Мы можем определить$\delta$от нашего$\vec{v_{\infty}}$векторов (угол между$\vec{v_{\infty, leg 1}}$&$\vec{v_{\infty, leg 2}}$) и переформулируйте уравнение, чтобы найти$r_p$. Если$r_p$меньше радиуса планеты или внутри ее атмосферы, если это применимо, то помощь гравитации НЕ осуществима, вы не можете изменить траекторию настолько, чтобы отправить космический корабль к следующей планете.

Если вы повторите этот процесс для каждой траектории из более широкого поиска, у вас останутся жизнеспособные траектории с гравитационным сопровождением. Выберите самые низкоэнергетические из них, чтобы найти свои даты.

По сути, вы выполняете поиск в двухмерном пространстве дат запуска и прибытия. Для каждой пары вы вычисляете траекторию и рассчитываете необходимое количество энергии запуска. Этот параметр называется C3, и его размерность равна квадрату скорости. Вам нужно будет выполнить аналогичные поиски для каждого набора средств гравитации, которые вы рассматриваете. То есть один для траекторий с одним пролетом Венеры, другой поиск двух пролетов Венеры и так далее.

Я только что описал схему подхода. В реальной жизни люди, занимающиеся такого рода планированием, располагают гораздо более сложными инструментами для оптимизации траекторий без полного перебора. Они также развивают интуицию в отношении компромиссов и того, что работает, а что нет.

Помимо энергии запуска, планировщики миссии учитывают и другие параметры. Примеры включают время в пути (50 лет было бы непопулярным), температурные ограничения (особенно при переходе к Меркурию), связь и многие другие.

Вы не начинаете с даты отъезда — это один из ответов, а не один из исходных данных.

Я не знаю формулы для расчета гравитационной орбиты, поэтому воспользуюсь простым случаем и опущу Венеру, а также предположу, что планеты находятся на круговых копланарных орбитах:

Найдите орбитальный период переходной орбиты. Для нашего простого случая радиус орбиты равен (орбита Меркурия + земная орбита)/2, и Кеплер даст вам орбитальный период исходя из этого. Мы пройдем половину этой орбиты. Вы смотрите на две орбиты и ищете время, когда планета, с которой вы запускаете, находится напротив того места, где цель будет находиться на 1/2 периода переходной орбиты в будущем. Я считаю, что для этого есть алгебраическое решение, но я его не помню.

Пока это дает один момент времени, так как ответ на практике немного размыт, можно немного отклониться от этого без больших затрат на топливо, но после этого стоимость топлива возрастает непозволительно, пуски просто не производятся.

Для любой данной пары планет это происходит с фиксированными интервалами, когда вы знаете одно время и период повторения, вы можете очень легко рассчитать дополнительные времена.

(Обратите внимание, что именно поэтому была такая спешка с запуском Perseverance.)

Как только вы начинаете добавлять помощь гравитации, проблема становится намного, намного сложнее, так как вам нужны подходящие окна с обеими парами планет и правильной скоростью и углом от столкновения. Я считаю, что это просто грубая сила, алгебраического решения не существует.