Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Question

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Физика
зеленые функции
квантовая механика
квантовая теория поля
уравнение Клейна-Гордона

Прелюдия

Я пытаюсь найти функции Грина для зависящего от времени неоднородного уравнения Клейна-Гордона, которое:

\begin{aligned} ‎ ‎ [- ‎ ‎ \nabla ‎^{2} + ‎ ‎ ‎ ‎ \frac{1}{с^{2}} ‎ ‎ \frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} + ‎ ‎ ‎ ‎ κ ‎^{2} ‎ ‎] ‎ ‎ ψ (‎ ‎ р, т) ‎ "=" ‎ ‎ ‎ ‎ р ‎ (‎ р, т ‎) ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎‎ \left[ -‎ ‎\nabla ‎^2 + ‎‎‎‎\frac{1}{c^2} ‎‎\dfrac{\partial ^2}{\partial t^2} +‎ ‎‎‎\kappa ‎^2 ‎‎\right] ‎‎\psi(‎{‎\mathbf{r},t )}‎ = ‎‎‎‎\rho‎(‎\mathbf{r},t‎)‎ \end{align*}$

В вопросе упоминалось, что я могу найти функции Грина:

\begin{aligned} ‎ ‎ ‎ & г_{р} (‎ р, т, ‎ р^{'}, т^{'}) "=" ‎ \frac{с}{8 π^{2} ‎ р я} ‎ \frac{г}{г ‎ р} ‎ \int_{- ‎ \infty ‎}^{+ ‎ \infty ‎} ‎ ‎ \frac{е^{я ‎ \frac{р}{с} ‎ ‎ \sqrt{д^{2} - к^{2} с^{2}} ‎ ‎}}{‎ \sqrt{д^{2} - к^{2} с^{2}} ‎} ‎ е^{- я д (т - т^{'})} ‎ г д ‎ \\ ‎ & г_{А} (‎ р, т, ‎ р^{'}, т^{'}) "=" ‎ - \frac{с}{8 π^{2} ‎ р я} ‎ \frac{г}{г ‎ р} ‎ \int_{- ‎ \infty ‎}^{+ ‎ \infty ‎} ‎ ‎ \frac{е^{- я ‎ \frac{р}{с} ‎ ‎ \sqrt{д^{2} - к^{2} с^{2}} ‎ ‎}}{‎ \sqrt{д^{2} - к^{2} с^{2}} ‎} ‎ е^{- я д (т - т^{'})} ‎ г д ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎ ‎‎&G_R(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t') = ‎\dfrac{c}{8 \pi ^2 ‎\mathbf{R} i }‎\dfrac{d}{d‎\mathbf{R}} ‎\int_{- ‎\infty‎}^{+‎\infty‎} ‎‎\dfrac{e^{ i ‎\frac{R}{c} ‎‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎‎}}{‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎} ‎e^{ - iq (t - t')} ‎dq‎ \\‎ &G_A(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t') = ‎-\dfrac{c}{8 \pi ^2 ‎\mathbf{R} i }‎\dfrac{d}{d‎\mathbf{R}} ‎\int_{- ‎\infty‎}^{+‎\infty‎} ‎‎\dfrac{e^{- i ‎\frac{R}{c} ‎‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎‎}}{‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎} ‎e^{ - iq (t - t')} ‎dq‎ \end{align*}$ ‎ используя преобразование Фурье, но когда я использую преобразование Фурье, я не получаю правильного ответа. Преобразование Фурье, которое я использую, обычно задается как:

\begin{aligned} ‎ ‎ ф (р) "=" ‎ \frac{1}{‎ \sqrt{2 π} ‎} ‎ \int_{- \infty}^{\infty} ‎ е^{я к . р} ‎ \hat{ф} ‎ (к) ‎ г к ‎ ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎ ‎f(r) = ‎\dfrac{1}{‎\sqrt{2 \pi}‎} ‎\int_{- \infty}^{\infty} ‎e^{ik.r}‎\hat{f}‎(k) ‎dk ‎‎ \end{align*}$ но из этого преобразования я не могу найти

G_{A}

$G_A$ и

G_{R}

$G_R$ .

Есть ли другое преобразование, которое я должен использовать, чтобы найти функции Грина?

Редактировать Функция Зеленого, которую я заканчиваю, такова:

\begin{aligned} ‎ ‎ г_{А} (‎ р, т, ‎ р^{'}, т^{'}) ‎ "=" ‎ ‎ ‎ ‎ \frac{1}{(2 π)^{4}} ‎ \int ‎ г^{3} к ‎ г к^{'} ‎ ‎ \frac{1}{к^{2}} ‎ е^{я к . (‎ р - ‎ р^{'} ‎ ‎)} е^{я к^{'} (т - т^{'})} ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎‎ G_A(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t')‎ = ‎‎‎‎\dfrac{1}{(2\pi)^4} ‎\int ‎d^3\mathbf{k} ‎dk' ‎‎\frac{1}{k^2} ‎e^{i\mathbf{k}.(‎\mathbf{r} - ‎\mathbf{r'}‎‎)}e^{ik'(t-t')}‎ \end{align*}$ что даже не похоже на ответ, данный здесь!

Вилли Вонг

На первый взгляд продвинутые и замедленные функции выглядят примерно правильно. Каков результат ваших вычислений? И, возможно, демонстрация работы поможет нам точно определить, в чем проблема.

Прелюдия

Я добавил свой окончательный ответ на вопрос

Вилли Вонг

то что вы записали не имеет зависимости от массы

κ

$\kappa$ , так что это определенно не так. Я думаю, что вам не хватает того, что после преобразования Фурье в пространстве-времени вы должны попытаться решить уравнение

(| к |^{2} - \frac{т^{2}}{с^{2}} + κ^{2}) \hat{ψ} (к, т) "=" 0

$( |\mathbf{k}|^2 -\frac{\tau^2}{c^2} + \kappa^2)\hat\psi(\mathbf{k},\tau) = 0$ Мне кажется, вы просто забыли, что следует учитывать массовый член. Также: будьте осторожны с вашим

κ

$\kappa$ и

k

$k$ ! Это две разные буквы!

Ответы (1)

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

На первый взгляд продвинутые и замедленные функции выглядят примерно правильно. Каков результат ваших вычислений? И, возможно, демонстрация работы поможет нам точно определить, в чем проблема.
Я добавил свой окончательный ответ на вопрос
то что вы записали не имеет зависимости от массы $\kappa$ , так что это определенно не так. Я думаю, что вам не хватает того, что после преобразования Фурье в пространстве-времени вы должны попытаться решить уравнение $(| к |^{2} - \frac{т^{2}}{с^{2}} + κ^{2}) \hat{ψ} (к, т) "=" 0$ $( |\mathbf{k}|^2 -\frac{\tau^2}{c^2} + \kappa^2)\hat\psi(\mathbf{k},\tau) = 0$ Мне кажется, вы просто забыли, что следует учитывать массовый член. Также: будьте осторожны с вашим $\kappa$ и $k$ ! Это две разные буквы!

Эрих · Answer 1

Я постараюсь указать на вещи, которые, как мне кажется, не в порядке.

Вы путаете между $k$ и $\kappa$ .
Нет проблем с вашим соглашением для преобразования Фурье. Это немного необычно для такого рода задач (судя по книгам, которые я использовал)
Вы должны интегрироваться! Обратите внимание, что найденный вами интеграл имеет $d^3{\bf k} dk'$ вы должны решить ее. Общий путь — сначала интегрироваться $k'$ , затем поместите интеграл в сферические координаты и решите для углов. В конце решить радиальный интеграл.

Пробовали ли вы сначала решить $\kappa=0$ случай? Если нет, вы должны сделать это.

Я не буду воспроизводить здесь то, что сказано в некоторых книгах, вместо этого приведу некоторые источники:

Я думаю, что лучшим справочником является книга Хассани по математической физике (раздел 22.4.4), там все яснее. Проблема в том, что он не решает $\kappa \neq 0$ случай.
Еще одна замечательная ссылка (и которая решает вашу проблему) - это книга Элефтериоса Эконому «Функция Грина по квантовой механике», раздел 2.2 (см. стр. 31, уравнение 2.63 для вашего конкретного случая).
Другие ссылки: Боголюбов Ширков &15 (что канонично, но, на мой взгляд, немного сбивает с толку) и
Морс Фешбах Глава 7.

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Прелюдия

Вилли Вонг

Прелюдия

Вилли Вонг

Ответы (1)

Эрих

Прелюдия

Вопрос о «волновой функции» в релятивистской квантовой механике (РКМ) и квантовой теории поля (КТП)

Физическая интерпретация сохраняющегося заряда уравнения Клейна-Гордона

Почему уравнение Клейна-Гордона второго порядка по времени?

Почему уравнение Клейна-Гордона не допускает сохранения вероятности?

Функция Грина для уравнения Клейна-Гордона расходится?

Оценка пропагатора без эпсилон-трюка

Доказательство уравнения временного порядка в Negele & Orland (1998)

Решения с отрицательной энергией в уравнениях Клейна-Гордона и Дирака

Квантовая теория поля: операторы поля в терминах операторов рождения/уничтожения

Почему функция Грина будет расходиться в одной и той же точке пространства-времени?