Оценка пропагатора без эпсилон-трюка

Прежде чем ответить на вопрос более или менее прямо, я хотел бы указать, что это хороший вопрос, который дает наглядный урок и открывает набег на темы сингулярных интегральных уравнений , аналитического продолжения и дисперсионных соотношений . Вот некоторые ссылки на эти более сложные темы: Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения ; Курант и Гильберт, Методы математической физики, том I , глава 3; Теория дисперсии в физике высоких энергий, Queen & Violini; Иден и др., Аналитическая S-матрица . Существует также сжатое обсуждение "инвариантных функций" в Schweber, An Intro to Relativistic QFT Ch13d .

Быстрый ответ заключается в том, что для$m^2 \in\mathbb{R}$, нет никакого "ярлыка". Нужно выбрать путь вокруг особенностей в знаменателе. Правильный выбор определяется граничными условиями рассматриваемой задачи. $+i\epsilon$«трюк» (это не «трюк») просто кодирует граничные условия, относящиеся к причинному распространению частиц и античастиц в теории поля.

Кратко изучим аналитическую форму$G(x-y;m)$чтобы продемонстрировать некоторые из этих функций.

Заметим, во-первых, что для реальных значений$p^2$, особенность в знаменателе подынтегральной функции сигнализирует о наличии (а) точки (точек) ветвления. На самом деле, [Хуанг, Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям , стр. 29] пропагатор Фейнмана для скалярного поля (ваше уравнение) может быть явно оценен:

$$\begin{align} G(x-y;m) &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \nonumber \\ &= \left \{ \begin{matrix} -\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \textrm{ if }\, s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \textrm{if }\, s < 0. \end{matrix} \right. \end{align}$$ куда $s=(x-y)^2$.

Функция Ганкеля первого порядка первого рода$H^{(1)}_1$имеет логарифмическую точку ветвления в$x=0$; то же самое можно сказать и о модифицированной функции Бесселя второго рода,$K_1$. (Посмотрите на маленькую$x$поведение этих функций, чтобы увидеть это.)

Точка ветвления указывает на то, что условия Коши-Римана нарушаются при$x=0$(или же$z=x+iy=0$). И тот факт, что эти сингулярности являются логарифмическими, указывает на то, что у нас есть конечная сингулярность [например. Иден и др. и др., гл. 2.1]. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите$m=0$, то подынтегральная функция,$p^{-2}$, имеет нуль на нижнем пределе интегрирования в$dp^2$.)

Возвращаясь к вопросу о граничных условиях, есть хорошее обсуждение в Sakurai, Advanced Quantum Mechanics , Ch4.4 [NB: метрика "East Coast"]. Вы можете видеть, что для больших значений$s>0$из приведенного выше выражения, что мы имеем уходящую волну от асимптотической формы функции Ханкеля.

Соединив его с исходными ссылками, которые я привел выше,$+i\epsilon$форма является вариантом формулы Племеля [Мусхелишвили]. А выражение для пропагатора является разновидностью интеграла Коши [Маск.; Иден и др.]. И эти понятия быстро приводят к темам, которые я упомянул выше, — безусловно, богатая почва для исследований.

Расширение комментария dmckee:

The $+i\epsilon$-трюк получил благословение математиков ОКР, потому что он следует непосредственно из глубокого факта о группе пространственно-временных трансляций: группа$\{e^{-i\langle P,x\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{R}^n\}$пространственно-временных трансляций является границей аналитической полугруппы$\{e^{-i\langle P,\xi\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{C}^n \mbox{ and } Im(\xi) \leq 0\}$.

Многие величины в теории поля выражаются в терминах этих трансляций, и часто эти величины легче вычислить путем аналитического перехода от реального времени «Минковского» к мнимому «евклидову» времени, где деликатное сокращение фаз становится грубым подавлением экспоненциальной зависимости. демпфирование. Когда вы используете$+i\epsilon$-трюк, на самом деле вы говорите, что конкретная отмена фаз, которую вы хотите, является той, которая уважает эту аналитичность. Это именно то, что происходит, когда вы используете$+i\epsilon$-трюк для оценки пропагатора Клейна-Гордона. У вас есть интеграл, который не сходится абсолютно, и вы выбираете определенное пересуммирование, которое сходится. $+i\epsilon$это не просто трюк здесь; это действительно определение количества, которое вам нужно.

Насколько я знаю, проблема связана с написанием правильного решения для всех действительных чисел:

$$(p-m)G(p)=1.$$ который гласит: $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{p-m}+c_0\delta(p-m)$$ куда $\text{P.v.}$обозначает главное значение. $\delta(\epsilon-\omega)$функция выглядит так, как будто она является ядром $(\omega-\epsilon)$а также $c_0$— некоторая константа, которую нужно зафиксировать. Если мы теперь возьмем преобразование Фурье, мы получим: $$\int e^{ipt }G(p)=\:\left( i\pi \text{sign}(t)+c_0\right)e^{i m t}$$ $c_0$теперь должны быть зафиксированы в соответствии с граничными условиями; для запаздывающей и опережающей функций Грина имеем $c_0=\pm i\pi$и решение, данное $i \epsilon$трюк восстановлен. Однако, на мой взгляд, это довольно плохой метод, так как он работает только тогда, когда у вас есть полюса или первый порядок, т.к. $\delta$к функции можно приблизиться с помощью функций, интегрируемых с квадратом. Если вы сейчас ищете решение: $$(p-m)^kG(p)=1.$$ с k целым числом, теперь у вас есть $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{(p-m)^k}+\sum_{j=0}^kc_j\delta^{(j)}(p-m)$$ с $\delta^{(k)}$k-я производная дельта-функции. Преобразование Фурье читается $$G(t)=\left( i\pi \frac{(i t)^{k-1}}{k-1!}\text{sign}(t)+\sum_{j=0}^kc_j (-it)^j\right)e^{i m t}$$ И снова, $c_j$s фиксируются в зависимости от граничных условий. Тем не менее, я не знаю, как восстановить это решение с помощью $i\epsilon$обманывать.