Как найти напряжение конденсатора в сети ОУ + RC?

Это упражнение действительно хорошо, потому что оно охватывает много материала в, казалось бы, простом вопросе. Большая часть проделанной вами работы хороша (за исключением неправильного определения знака e), но, как вы увидите, вы упустили ключевой аспект.

Простите меня за перерисовку схемы с некоторыми дополнительными метками, потому что это значительно облегчит обращение к вещам позже.

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

когда я пишу$V_{OUT}$, я имею в виду потенциал в узле «ВЫХОД» относительно земли (0 В). Потенциал в узле «Р» равен$V_P$, и так далее. Напряжение на R1 будет$V_{R1}$, напряжение на R2 равно$V_{R2}$и так далее. При условии$V_{C1} = V_{OUT} - 0V = V_{OUT}$, я просто скажу$V_{OUT}$вместо того, чтобы ссылаться на напряжение на C1. Токи через компоненты будут помечены$I_{R1}$,$I_{R3}$и т. д.

Кстати, обычно мы не называем входы операционного усилителя «положительными» и «отрицательными», потому что есть место для путаницы между этими входами и его клеммами питания. Правильными терминами являются «неинвертирующий» (для клеммы «+») и «инвертирующий». На своей диаграмме я намеренно выбрал имена узлов «P» и «Q», чтобы избежать такой двусмысленности, а также потому, что многократное повторение «напряжение на неинвертирующем входе» быстро становится утомительным. Говоря "$V_P$"так намного проще.

Начав так же, как и вы, найдя состояние системы для$t < 0$, побывав так долгое время, так как переключатель в разомкнутом положении, узел P подключен к земле, и так:

$$V_P(t<0) = 0V$$

Вы правильно описали поведение операционного усилителя. То есть, будучи идеальным и имея отрицательную обратную связь, он будет корректировать свой выход$V_E$таким образом, чтобы сохранить состояние$V_Q = V_P$. Вы, наверное, интуитивно видите, что для$V_Q$быть таким же, как$V_P = 0V$, единственный способ, который может быть правдой, это если$V_E = 0V$также. Однако, следуя вашему примеру, я официально выведу$V_E$:

$$V_Q = V_P = 0V$$

$$0V + V_{R2} = V_Q = 0V$$

$$V_{R2} = 0V$$

$$I_{R2} = \frac{V_{R2}}{R_2} = \frac{0V}{R_2} = 0A$$

Находить$V_E$:

$$I_{R1} = I_{R2} = \frac{V_E}{R_1 + R_2}$$

$$\begin{aligned} V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 0A \times (R_1 + R_2) = 0V \end{aligned}$$

Операционный усилитель реагирует на изменения своего выхода следующим образом:$V_E$, например, к его выходу подключена какая-либо нагрузка, вызывающая соответствующее падение$V_Q$. Операционный усилитель теперь имеет ненулевую разницу между$V_Q$на его инвертирующем входе, а$V_P$на его неинвертирующем входе.

Качественно сейчас$V_P - V_Q > 0$, и, как вы знаете, операционный усилитель пытается усилить эту разницу (помните$V_E = A(V_P-V_Q)$, где A — усиление разомкнутого контура операционного усилителя.) Это вызывает$V_E$подняться, в отличие от того самого возмущения, которое вызвало его падение в первую очередь. Он будет продолжать тянуть свою продукцию все выше и выше в потенциале, все сильнее и сильнее, пока не восстановит равенство между$V_P$и$V_Q$. Такое же поведение также предотвращает$V_E$от подъема.

Таким образом, операционный усилитель может поддерживать свой выходной сигнал.$V_E$при каком напряжении необходимо поддерживать$V_P - V_Q = 0V$, или$V_P = V_Q$. Важно отметить, что отношения между$V_E$,$V_Q$,$V_P$,$R_1$и$R_2$(которое мы получили выше) не зависит от какой-либо нагрузки, подключенной к выходу операционного усилителя. Вы вообще не видите C1 или R3 в этих уравнениях. Вот почему мы говорим, что операционный усилитель с отрицательной обратной связью имеет выходное сопротивление 0 Ом. Вы можете повесить на этот вывод все, что захотите, и (при условии, что он «достаточно силен») он выиграет любую битву за то, кто будет определять ценность$V_E$.

И вот что вы упустили: из-за этого выход операционного усилителя можно рассматривать как идеальный источник напряжения, имеющий ценность.$V_E$, зависит только от$V_P$. Как$V_P$изменения,$V_E$изменяется соответственно (как определено обратной связью), но больше ничего, абсолютно ничего не может измениться$V_E$.

В этой схеме R3 и C1 не имеют никакого влияния на$V_E$, и$V_E$можно рассматривать как упрямый, идеальный источник напряжения. С таким же успехом это может быть батарея, поскольку R3 и C2 не могут понять разницу.

Учитывая наш вывод для$V_E(t<0)$выше, вы можете с уверенностью сказать, что$V_E$будет ноль вольт, независимо от того, что к нему подключено. И то же самое касается$V_E(t \ge 0)$, как мы сейчас выведем.

Когда переключатель замкнут в tiem$t=0$, узел Р подключен к источнику напряжения V1:

$$V_P(t \ge 0) = V_S = +6V$$

Те же самые правила и уравнения применяются для этого нового условия при нахождении$V_E$:

$$\begin{aligned} V_Q &= V_P = 6V \newline \newline I_{R2} &= \frac{V_Q}{R_2} \newline \newline &= \frac{6V}{10k\Omega} \newline \newline &= 600 \mu A \newline \newline V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 600 \mu A \times (10k\Omega + 10k\Omega) \newline \newline &= 12V \end{aligned}$$

В качестве примечания, я уверен, что вы знакомы с этой схемой:

^{смоделируйте эту схему}

Это вездесущий неинвертирующий усилитель, где:

$$V_{OUT} = V_{IN}(1 + \frac{R1}{R2})$$

Вы видите, что этот «модуль» — это именно то, что у вас есть внутри вашей собственной схемы? Также, пожалуйста, не забудьте понять значение того факта, что эта формула полностью независима от всего, что связано на выходе. Это верно независимо от нагрузки, по причинам, которые я изложил выше, а именно, что операционный усилитель имеет отрицательную обратную связь, которая заставит его регулировать свой выход любым способом, необходимым для поддержания его инвертирующего и неинвертирующего входов при одном и том же потенциале, делая он способен преодолевать воздействие любой нагрузки.

Подставляем наши значения для$V_P$,$R_1$и$R_2$:

$$V_{OUT}(t < 0) = V_{IN}(t < 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 0V \times (1 + \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 0V$$ $$V_{OUT}(t \ge 0) = V_{IN}(t \ge 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 6V \times (1+ \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 12V$$

Как видите, оба условия согласуются с нашим более строгим анализом выше. Я полагаю, что мораль заключается в том, что вам следует искать подобные «строительные блоки» во всех схемах, которые вы собираетесь анализировать, чтобы вы могли применять уже полученные, проверенные и верные формулы, вместо того, чтобы разрабатывать все это из первых принципов. каждый раз.

Последнее, что нужно сделать, это «изобразить» вашу схему в свете того факта, что у нас есть два состояния, в обоих из которых операционный усилитель стал простым источником напряжения: 0 В (до замыкания ключа) и 12 В (после). :

^{смоделируйте эту схему}

В левой (t < 0) версии нет источника напряжения, поскольку источник нулевого напряжения фактически представляет собой прямое соединение с землей. Теперь я оставлю на ваше усмотрение выполнение упражнения, состоящего в том, чтобы «доказать» ценность$V_{OUT}$во время$t = 0$и$t \gg 0$.

Да, все при нулевом напряжении до t=0. Что происходит после этого?

---

Каким-то образом вам удалось ошибиться со знаком конечного выходного напряжения.

$$\frac {0 - 6}{10} - \frac {6 - e}{10} = 0$$

$$\frac {0 - 6}{10} + \frac {e - 6}{10} = 0$$

$$0 - 6 + e - 6 = 0$$

$$e = 12$$

---

Помните, что выход идеального операционного усилителя является источником напряжения. Что это означает с точки зрения сопротивления, «видимого» конденсатором?