Как определить обратный вектор?

Большинство физических ситуаций в механике можно смоделировать с помощью комбинации производных, в частности, производных положения: скорости и ускорения. Но физические ситуации можно моделировать и другими способами. Рассмотрим скалярное уравнение для скорости в одном измерении:

$v = \frac{dx}{dt}$

его также можно смоделировать с помощью другой величины, называемой «медленностью», которая описывается как:

$s = \frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$

Который обычно используется в повседневной жизни. Например, бегуны обычно измеряют расстояние в минутах на милю или в минутах на километр. Ходоки идут достаточно медленно, так что нет смысла измерять скорость в милях в час или подобных единицах, а вместо этого говорить, что им требуется ~ 20 минут на милю. Однако это редко, если вообще когда-либо, используется в физике.

Чтобы смоделировать медлительность физически, нужно знать несколько основных вещей. Во-первых, когда мы хотим добавить скорости, они складываются очень хорошо. Если я стою на платформе грузовика и бегу со скоростью 5 м/с, в то время как грузовик движется со скоростью 10 м/с (без учета специальной теории относительности), моя общая скорость составит 5+10=15 м/с. Для медлительности мы должны воспользоваться знанием этого факта, чтобы выяснить, как «сложить» медлительности вместе.

Мы знаем$v_1+v_2=v_t$, так что если$s_1=\frac{1}{v_1}$и$s_2=\frac{1}{v_2}$и$s_t=\frac{1}{v_t}$затем$\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}=\frac{1}{s_t}$и поэтому:

$\frac{1}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}}=s_t$

определение операции, связанной с этим (называется «oplus» — подробно обсуждается здесь ):

$x \oplus y := \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

и его инверсия («оминус»)

$x \ominus y := \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} = x \oplus (-y)$

у нас есть

$s_1 \oplus s_2 = s_t$,

Таким образом, скорость увеличивается, а скорость увеличивается.

Кажется, что медленность нелегко измерить в векторной форме, хотя она представляет собой ту же физическую величину, что и скорость, и, следовательно, имеет как величину, так и направление.

Векторная версия медлительности должна (я думаю) выполнять три требования:

1. Сохранить направление (указать то же направление, что и вектор скорости)
2. Инвертировать величину (величина замедления должна быть 1/скорость)
3. Независимость от координат (медленность в направлении x не влияет на направление y и т. д.)

Существует только один вектор, удовлетворяющий первым двум, — это вектор$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$что, к сожалению, не удовлетворяет и третьему требованию, поскольку величина$\vec{v}$влияет на все координаты$\vec{v}$. Например, если$\vec{v}=\langle1,2\rangle$затем$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\rangle$но если$\vec{v}=\langle1,3\rangle$затем$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\rangle$что означает, что простое изменение координаты y также изменило координату x медлительности.

Чтобы сохранить независимость от координат, а также оставаться в соответствии с одномерным определением медленности, можно определить «вектор» для медленности как обратную величину каждого компонента. Так что если$\vec{v}=\langle x,y,z\rangle$затем$\vec{s}=\langle\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\rangle$.

Первоначальная проблема заключается в том, что он не сохраняет направление и не инвертирует величину вектора скорости. Однако это требует изменения фундаментального свойства вектора.

Все сводится к тому, как мы измеряем расстояние в системе координат и какие операции мы используем с векторами. Мы все знаем, что векторы складываются, что имеет смысл, поскольку скорость и положение делают одно и то же, и эти вещи складываются, когда они являются скалярами.

Одной из проблем с определением медленности как вектора может быть то, что медленность не удовлетворяет векторным свойствам даже в одном измерении! Медлительности не добавляют, они оплюсивают (как показано выше).

Итак, вместо того, чтобы определять медлительность, обратную медленности, как вектор, почему бы не определить ее как нечто другое? Что-то похожее на вектор, но с большей готовностью использующее его свойства. Например, он может отличаться в том, как мы измеряем его величину, а также в других свойствах:

Данный$\vec{v}=\langle x,y,z \rangle$

$\frac{1}{\vec{v}} := [x^{-1},y^{-1},z^{-1}]$<-- не вектор, вместо этого может называться «обратным вектором» или «инвектором», обозначаемым квадратными скобками

$|\frac{1}{\vec{v}}| := \sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2}$

Это, кажется, ведет себя довольно хорошо, так как

$|\frac{1}{\vec{v}}|=\sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2} = \sqrt{\frac{1}{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{|\vec{v}|}$

Что удовлетворяет требованию №2.

Благодаря этому определению требование № 1 также может быть удовлетворено, если мы изменим способ измерения расстояния. Большинство людей знакомы с графиком в логарифмическом масштабе. Это помогает визуализировать данные, которые растут в геометрической прогрессии за счет изменения расположения чисел на оси в геометрической прогрессии.

В нашем новом представлении о расстоянии мы будем работать с обратным пространством (я знаю, что этот термин используется для описания кристаллической решетки, но здесь я не использую то же самое). ОБЕ оси x и y (мы начнем работать в двух измерениях) будут масштабированы таким образом, что x=1/x и y=1/y. Начало координат будет заменено одной «бесконечно удаленной точкой», похожей на проективную геометрию.

Графическое отображение обратных векторов в пространстве, которое измеряется таким образом, удовлетворяет требованию № 1 — сохранение направления. Таким образом, это новое определение удовлетворяет всем трем требованиям, при условии, что мы говорим, что это не вектор и что он находится в другом пространстве.

Вектор$\langle 2,3 \rangle$(показано справа) при отображении в декартовом пространстве выглядит так же, как вектор$\langle \frac{1}{2},\frac{1}{3} \rangle$(показано слева) в обратном пространстве.

Удивительной особенностью этого пространства является то, что геометрическое сложение векторов «кончиком к хвосту» применимо и к этому новому пространству, за исключением того, что оно соответствует вытеснению векторов вместо добавления векторов. И, предполагая, что это представляет медлительность, это полностью согласуется с векторным сложением скорости!

Определяем (векторы будем обозначать *)

данный$\vec{a}* = [a_1,a_2]$и$\vec{b}* = [b_1,b_2]$

$\vec{a}* \oplus \vec{b}* := [a_1 \oplus b_1, a_2 \oplus b_2]$

Например:

$\vec{v_1} = \langle x_1,y_1 \rangle$и$\vec{v_2} = \langle x_2,y_2 \rangle$

$\vec{v_1}+\vec{v_2} = \vec{v_t} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle$

как вектор медленности, это было бы

$\vec{s_1}* = [\frac{1}{x_1},\frac{1}{y_1}]$и$\vec{s_2}* = [\frac{1}{x_2},\frac{1}{y_2}]$

$\vec{s_1} \oplus \vec{s_2} = \vec{s_t} = [\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]$

что соответствует, потому что$\frac{1}{[\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle = \frac{1}{\vec{v_t}}$

Используя тот факт, что сложение векторов — это то же самое, что вычитание векторов, можно доказать, что, поскольку длины в обратном пространстве делятся на 1 на их геометрические длины, существует новая теорема Пифагора для обратного пространства.

$c^2=a^2 \oplus b^2$

потому что мы знаем, что$\frac{1}{length(x)}=x$в обратном пространстве (где длина (x) - это длина, которую вы обычно измеряете, если вы взяли линейку, например, а x - «фактическая длина»), и мы знаем, что$length(c)^2 = length(a)^2+length(b)^2$

так$\frac{1}{c^2} =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

и

$c^2 =\frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}} = a^2 \oplus b^2$

что объясняет приведенное выше уравнение для величины инвектора.

Мы также можем видеть, что если мы используем обратную операцию$\oplus$,$\ominus$(o-минус) мы можем определить линейную функцию расстояния вдоль осей в одном измерении. Мы можем назвать эту функцию «близостью», потому что она показывает, насколько близко один объект находится к другому. Небольшая близость — это большое расстояние, а большая близость — это небольшое расстояние (потому что они взаимны).

$closeness(x,y) = c(x,y) := |x \ominus y|$

и для двух измерений

$c((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{(x_1 \ominus x_2)^2 \oplus (y_1 \ominus y_2)^2}$

Трехмерная формула аналогична.

Мы можем видеть, что по этой формуле близости (расстояния) в 1 измерении расстояние между обратной величиной любого целого числа и обратной величиной следующего равно 1. Расстояние между 1 и 1/2 равно$|1\ominus\frac{1}{2}|=1$. Расстояние между 1/2 и 1/3 равно 1, расстояние между 1/3 и 1/4 равно 1 и так далее. Функция расстояния здесь трансляционно-инвариантна — если мы перемещаем оси, длины линий не меняются.

Я обошел стороной, не упомянув тот факт, что личность в рамках операции oplus$\infty$. я нашел это$\infty$является неотъемлемой частью этой системы. Он эффективно работает так же, как ноль в декартовой системе.$a\oplus\infty=a\ominus\infty=a$для всех а и вообще,$\infty = -\infty$.

Насколько я могу судить, это имеет физический смысл — тело с$0$скорость имеет$\infty$медлительность. Тело, которое имеет$0$расстояние между ним и чем-то еще$\infty$близость к нему. Инвектор ускорения также имеет физический смысл и отлично работает в обратном пространстве.

Я не включил все, что нашел об этой системе, включая скалярное произведение двух инвекторов.$(\vec{a}*\cdot\vec{b}*=[a_1\cdot b_1,a_2\cdot b_2])$и как они соотносятся с производными, описывающими движение обратным образом.

Как любитель с математической подготовкой только на уровне средней школы, я просто хотел бы спросить, есть ли в этом какой-то смысл? Кто-нибудь знает векторный способ описания медлительности или других обратных векторных величин, который отличается (или совпадает) с моей собственной работой? Я хотел бы понять, как это относится к математике в целом, и верны ли мои идеи и работа. Вектор обычно определяется как математический объект, обладающий как величиной, так и направлением, но мне кажется, что, хотя это и соответствует этой идее, вектор не может описать тип объекта, с которым я здесь имею дело. Есть ли другой способ сделать это, который уже принят математическим сообществом? Моя работа новая или она уже где-то есть? Возможно ли определение обратного вектора? Если векторы не зависят от системы координат, почему переход на обратное пространство что-то меняет? По сути, я просто хотел бы узнать больше о том, как определить инверсию вектора в математическом и физическом смысле.