Как определить скорость пластической деформации

Во-первых, я собираюсь определить некоторые обозначения. Я предпочитаю прямое обозначение современной механики сплошных сред, представленное в этой книге Гуртином и др., поэтому я не буду использовать индексы, которые вы используете. Наконец, для малой деформации , не зависящей от скорости пластичности с изотропным упрочнением справедливо следующее утверждение .

• $\mathbf{T}$= тензор напряжений Коши
• $\mathbf{T}_0 = \mathbf{T} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathbf{T}) \mathbf{1}$= Девиаторная часть напряжения Коши
• $\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{2}{3} \mathbf{T}_0 : \mathbf{T}_0}$= Эквивалентное растягивающее напряжение
• $\mathbf{N}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{T}_0}{\bar{\sigma}}$= Направление пластического течения (предполагается сонаправленность)
• $\mathbf{E} = \mathbf{E}^e + \mathbf{E}^p$= Аддитивное деформационное разложение
• $\mathbf{T} = \mathbb{C}:\mathbf{E}^e = (2G)\mathbf{E}^e + \lambda\mathrm{tr}(\mathbf{E}^e)\mathbf{1}$= Линеаризованное определяющее уравнение упругости
• $\dot{\mathbf{E}}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\dot{\bar{\epsilon}}^p \mathbf{N}^p$
• $\dot{\bar{\epsilon}}^p = \sqrt{\frac{2}{3}} |\dot{\mathbf{E}}^p|$= эквивалентная скорость пластической деформации
• $\bar{\epsilon}^p = \int_0^t \dot{\bar{\epsilon}}^p(t')\,dt'$= накопленная пластическая деформация
• $Y(\bar{\epsilon}^p)$= «сопротивление потоку» = 1D предел текучести при растяжении$\sigma_y$(функция$\bar{\epsilon}^p$)
• $H(\bar{\epsilon}^p) = \frac{dY}{d\bar{\epsilon}^p}$= скорость деформационного упрочнения
• $f(\mathbf{T}_0, Y(\bar{\epsilon}^p)) = \bar{\sigma} - Y(\bar{\epsilon}^p) \le 0 \; \forall \,\mathbf{T}, \,Y$<-- Функция доходности

---

Затем мы записываем условие согласованности Куна-Таккера при выходе (которое имеет место при$f=0$):

• Если,$f = 0$затем$\dot{\bar{\epsilon}}^p \dot{f} = 0$.

Это может показаться сильным утверждением, и это так, но если вы думаете обо всех возможных типах нагрузки от точки на «поверхности текучести» (определяемой как все состояния напряжения, которые дают$f=0$), вы обнаружите, что это правда.

---

Теперь применим это условие, чтобы найти$\dot{\bar{\epsilon}}^p$. Во-первых, вычислить$\dot{f}$.

$$\begin{align} \dot{f} &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\bar{\sigma}} - \dot{Y}\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{\dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{T}_0}{|\mathbf{T}_0|} - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)[\dot{\mathbf{E}} - \dot{\mathbf{E}}^p] : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)\dot{\mathbf{E}} : \mathbf{N}^p - (3G + H)\dot{\bar{\epsilon}}^p \end{align}$$

Теперь мы должны рассмотреть три случая: 1) упругая разгрузка, 2) нейтральная нагрузка, 3) пластическая нагрузка.

1. Эластичная разгрузка: это похоже на снятие напряжения с тела, находящегося в точке предела текучести. Таким образом,$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$, и$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p < 0$. Поэтому,$\dot{f} < 0$.
2. Нейтральная загрузка: здесь немного сложнее. Здесь нагрузка является касательной к поверхности текучести. В этом случае скорость деформации ортогональна направлению пластического течения, поэтому$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p = 0$. Здесь мы еще не нагрузили тело пластически, поэтому$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$. В кодах это обычно обрабатывается без особого рассмотрения либо выше, либо ниже, с тем же результатом.
3. Пластическая нагрузка: Здесь мы нагружаем тело пластически. Это значит, что$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p > 0$. С$f=0$на поверхности текучести и$f$не может иметь положительного значения, это означает, что$\dot{f} = 0$. Вот как мы можем найти значение$\dot{\bar{\epsilon}}^p$.

$$\dot{\bar{\epsilon}}^p = \frac{\sqrt{3/2} (2G) (\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p)}{3G + H(\bar{\epsilon}^p)}$$

Я пропустил некоторые из более утомительных алгебр и похоронил предположение, что$(3G + H)>0$, что верно для каждого случая, с которым я сталкивался. Отсюда можно перейти к вычислению так называемого «эластопластического» модуля, необходимого для неявного интегрирования в методе конечных элементов.