Как получить комплексную частоту экспоненциально затухающей синусоидальной функции?

Question

Как получить комплексную частоту экспоненциально затухающей синусоидальной функции?

бильяндриам

В моем учебнике Engineering Circuit Analysis 8.Ed Уильяма Х. Хейта (глава 14, раздел 14.1, стр. 536) я наткнулся на раздел, объясняющий комплексную частоту. Цель состоит в том, чтобы охватить концепцию комплексной частоты, когда речь идет об экспоненциально затухающих синусоидальных функциях.

КАК ЭТО ПРОИЗОШЛО?

Как $e^{\sigma t}$ становиться $e^{j\sigma t}$ на ровном месте?
И почему $e^{j(\omega t)}$ становиться $e^{j(j\omega t)}$ ? Любая помощь приветствуется.

Эллиот Алдерсон

Не могли бы вы еще раз взглянуть на свои вопросы? Кажется, нет никакой разницы между этими двумя вещами... оригиналом и "сталой" версией.

бильяндриам

@elliotAlderson Я только что отредактировал это.

Энди ака

Выглядит все запутанным.

бильяндриам

@Andyaka Это действительно так. Вот изображение раздела, которое вы можете увидеть: my.pcloud.com/publink/…

Энди ака

Вы должны опубликовать эту фотографию в своем вопросе, чтобы придать ей подлинность.

Энди ака

Вы пытались погуглить, чтобы узнать, была ли обнаружена эта ошибка раньше?

придурок

@Andyaka Какая ошибка? Я не вижу ни одного, навскидку. Мне это кажется прямолинейным. Вопросы, заданные ОП, выглядят неправильно. Но не цитируемый книжный материал.

Энди ака

@jonk ошибка, упомянутая в вопросе оператора.

придурок

@Andyaka Возможно, я не понимаю вопроса ОП. Дай мне минуту. Я напишу, что, по моему мнению, происходит. Может быть, я просто неправильно понимаю.

Энди ака

@jonk, ты тот парень, к которому обращаешься, чтобы добраться до сути этого.

придурок

@Andyaka Ну вот. Я сделал ошибку там?

Ответы (1)

Как получить комплексную частоту экспоненциально затухающей синусоидальной функции?

Не могли бы вы еще раз взглянуть на свои вопросы? Кажется, нет никакой разницы между этими двумя вещами... оригиналом и "сталой" версией.
@elliotAlderson Я только что отредактировал это.
@Andyaka Это действительно так. Вот изображение раздела, которое вы можете увидеть: my.pcloud.com/publink/…
Вы должны опубликовать эту фотографию в своем вопросе, чтобы придать ей подлинность.
Вы пытались погуглить, чтобы узнать, была ли обнаружена эта ошибка раньше?
@Andyaka Какая ошибка? Я не вижу ни одного, навскидку. Мне это кажется прямолинейным. Вопросы, заданные ОП, выглядят неправильно. Но не цитируемый книжный материал.
@jonk ошибка, упомянутая в вопросе оператора.
@Andyaka Возможно, я не понимаю вопроса ОП. Дай мне минуту. Я напишу, что, по моему мнению, происходит. Может быть, я просто неправильно понимаю.
@jonk, ты тот парень, к которому обращаешься, чтобы добраться до сути этого.

придурок · Answer 1

Начнем с доказательства первой замены. Обратите внимание, что $\operatorname{cos}\left(-x\right)=\operatorname{cos}\left(x\right)$ и что $\operatorname{sin}\left(-x\right)=-\operatorname{sin}\left(x\right)$ :

\begin{aligned} е^{Дж (ю т + θ)} & + е^{- Дж (ю т + θ)} \\ е^{Дж (ю т + θ)} & + е^{Дж (- ю т - θ)} \\ [потому что (ю т + θ) + Дж \cdot грех (ю т + θ)] & + [потому что (- ю т - θ) + Дж \cdot грех (- ю т - θ)] \\ [потому что (ю т + θ) + Дж \cdot грех (ю т + θ)] & + [потому что (ю т + θ) - Дж \cdot грех (ю т + θ)] \\ потому что (ю т + θ) & + потому что (ю т + θ) \\ "=" 2 потому что (ю т + θ) \end{aligned}

$\begin{align*} e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}&+e^{-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\\ e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}&+e^{j\left(-\omega\,t-\theta\right)}\\ \left[\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)+j\cdot\operatorname{sin}\left(\omega\, t+\theta\right)\right]&+\left[\operatorname{cos}\left(-\omega\, t-\theta\right)+j\cdot\operatorname{sin}\left(-\omega\, t-\theta\right)\right]\\ \left[\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)+j\cdot\operatorname{sin}\left(\omega\, t+\theta\right)\right]&+\left[\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)-j\cdot\operatorname{sin}\left(\omega\, t+\theta\right)\right]\\ \operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)&+\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)\\\\&= 2\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right) \end{align*}$

Очевидно, что этот эквивалент верен:

потому что (ю т + θ) "=" \frac{1}{2} [е^{Дж (ю т + θ)} + е^{- Дж (ю т + θ)}]

$\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)=\frac12\left[ e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}+e^{-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\right]$

Итак, это означает, что первые две строки цитируемого текста кажутся правильными:

\begin{aligned} в (т) & "=" В_{м} е^{о т} потому что (ю т + θ) \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{о т} [е^{Дж (ю т + θ)} + е^{- Дж (ю т + θ)}] \end{aligned}

$\begin{align*} v\left(t\right)&=V_m\:e^{\sigma\,t}\operatorname{cos}\left(\omega\, t+\theta\right)\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t}\left[e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}+e^{-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\right] \end{align*}$

Теперь я пойду небольшими шагами ниже, чтобы не ошибиться в простой алгебре:

\begin{aligned} в (т) & "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{о т} [е^{Дж (ю т + θ)} + е^{- Дж (ю т + θ)}] \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{о т} е^{Дж (ю т + θ)} + \frac{1}{2} В_{м} е^{о т} е^{- Дж (ю т + θ)} \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{о т + Дж (ю т + θ)} + \frac{1}{2} В_{м} е^{о т - Дж (ю т + θ)} \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{о т + Дж ю т + Дж θ} + \frac{1}{2} В_{м} е^{о т - Дж ю т - Дж θ} \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{Дж θ} е^{о т + Дж ю т} + \frac{1}{2} В_{м} е^{- Дж θ} е^{о т - Дж ю т} \\ "=" \frac{1}{2} В_{м} е^{Дж θ} е^{(о + Дж ю) т} + \frac{1}{2} В_{м} е^{- Дж θ} е^{(о - Дж ю) т} \end{aligned}

$\begin{align*} v\left(t\right)&=\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t}\left[e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}+e^{-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\right]\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t}\:e^{j\left(\omega\,t+\theta\right)}+\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t}\:e^{-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t+j\left(\omega\,t+\theta\right)}+\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t-j\left(\omega\,t+\theta\right)}\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t+j\,\omega\,t+j\,\theta}+\frac12 V_m\:e^{\sigma\,t-j\,\omega\,t-j\,\theta}\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{j\,\theta}\:e^{\sigma\,t+j\,\omega\,t}+\frac12 V_m\:e^{-j\,\theta}\:e^{\sigma\,t-j\,\omega\,t}\\\\ &=\frac12 V_m\:e^{j\,\theta}\:e^{\left(\sigma+j\,\omega\right)t}+\frac12 V_m\:e^{-j\,\theta}\:e^{\left(\sigma-j\,\omega\right)t} \end{align*}$

Это кажется слишком простым. Значит, я совершенно неправильно понял ваш вопрос?

Как раз собирался отправить сообщение с похожим выводом. В основном я думаю, что ОП забыл правила экспоненциального
@jonk Вы полностью поняли вопрос. У меня тоже была такая же логика, как у вас. Так что я думаю, что это просто опечатка, и я напишу об этом редактору по электронной почте.
Таким образом, дополнительный j был неправильным, а связанный документ был неправильным. +1 за дополнительные усилия.
Подожди... ты хочешь сказать, что математика выглядит кошерно? Я в замешательстве, вы не можете согласиться с ошибкой и в то же время предположить, что математика кошерна, хи-хи
@Andyaka Andyaka Я удалю этот комментарий как сбивающий с толку. Извини за это. Вывод достаточно ясен, и нет нужды в словах, которые могут его запутать.

Как получить комплексную частоту экспоненциально затухающей синусоидальной функции?

бильяндриам

Эллиот Алдерсон

бильяндриам

Энди ака

бильяндриам

Энди ака

Энди ака

придурок

Энди ака

придурок

Энди ака

придурок

Ответы (1)

придурок

пользователь16222

бильяндриам

Энди ака

Энди ака

придурок

Могу ли я переключать переменный ток 85 В / 3 кГц с помощью этого твердотельного реле?

Купил кондиционер в Тайланде на 220-240В, 50Гц. Что может произойти, если я использую его в нашей стране, где используется 220 В, 60 Гц? [закрыто]

Насколько точна частота сетевых розеток в США? [дубликат]

Схема определения оборотов двигателя по проводу заземления катушки магнето

Как телефонный провод может иметь несколько частот одновременно?

Насколько точна частота электрической сети переменного тока?

Связано ли проектное решение для разных частот в PAL и NTSC с частотой сети переменного тока?

Компенсируйте частотную зависимость амперметра

Генерация синусоидальной волны в большом диапазоне частот

Как частота сети влияет на катушки контактора?