Как ZFC стал стандартным основанием математики?

Я хотел бы услышать об исторических и технических причинах того, почему теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора стала доминирующим стандартом для основ математики.

Эта система, безусловно, приобрела большую популярность в академических кругах с момента ее создания столетие назад, но каковы подробности всей этой истории?

Я не смог найти ответ в Интернете.

Мне не удалось найти ответ в Интернете --- этому посвящено много книг, например «Основы теории множеств» Френкеля/Бар-Хиллеля/Леви и «Лабиринт мысли». «История теории множеств и ее роль в современной математике» Феррейроса , « Теория множеств Кантора и ограничение размера» Халлетта , «История теории множеств» Джонсона (продолжение)
Людей это не беспокоит, потому что ничего не изменится в математике, если ZFC будет заменен NBG, KM или какой-либо другой альтернативной теорией множеств. Случилось так, что она оказалась одной из первых в истории, на которую можно было перевести математику, а ее главный конкурент, Principia Рассела, был гораздо более громоздким. Поэтому Бурбаки способствовал этому. Математическим логикам, которых сейчас это в основном волнует, нравится, потому что в нем минимум базовых понятий (только множества, нет классов, элементов, типов и отсортированных объектов и т. д.), что упрощает метаанализ.
@Conifold очень интересный комментарий. Было бы здорово, если бы вы расширили его до ответа.
@Conifold Бурбаки не продвигал ZFC. Бурбаки продвигал «Теорию множеств Бурбаки», которая в своей первоначальной форме не была эквивалентна ZFC, так как в ней отсутствовал какой-либо эквивалент аксиомы замещения и она имела форму аксиомы выбора где-то между обычным и глобальным выбором, обусловленным к использованию Гильбертов ϵ . Каким образом общее принятие ZFC конкретно (а не теоретико-множественного фундамента в целом) могло быть связано с Бурбаки, когда Бурбаки пришлось исправлять свои определения, чтобы они соответствовали ZFC?
@RobertFurber Различия были незначительными, и технические детали мало интересовали тех, кто использовал ZFC в качестве общего справочника для такого рода аксиоматической теории множеств. Вот что означало «принятие» ZFC за пределами логических кругов.
Если бы нелогичные люди упоминали конкретную теорию множеств из-за Бурбаки, они бы сказали, что используют теорию множеств Бурбаки или «теорию, описанную в « Теории ансамблей» Бурбаки », они не стали бы использовать название теории, которая не соответствует действительности. т упоминается там. Ваше предложение просто не сходится. Я пытался вежливо сказать вам об этом в своем первом комментарии, но вы заставили меня быть более откровенным.
@RobertFurber Все в порядке, я поддерживаю предложение. Вы можете не согласиться, но когда люди используют «ZFC» в общем и видят что-то неразличимое, не углубляясь в символику Бурбаки, это побуждает использовать «ZFC» чаще. Если бы Бурбаки использовал шрифты или что-то еще более характерное, все могло бы быть по-другому.

Ответы (1)

Во-первых, «основы» уже не те, что раньше. Идея «единой истинной логики» и «единой истинной математики», оправдываемых самоочевидными истинами, в наши дни не пользуется большой популярностью. Таким образом, интерес к реальным основаниям и вера в их существование или необходимость последовательно ослабевают, см. Аззуни. Есть ли еще смысл, в котором математика может иметь основания?

Проект Фреге-Рассела по превращению математической практики в формальное предприятие также не увенчался успехом. Z Ф С получает на словах учебник в качестве проверки парадоксов и источника курий математической логики, но фактические доказательства по-прежнему даются в основном на просторечии наивной теории множеств, см. комментарии в ветке МО для текущих реакций. Он более заметен в математической логике и теории высших множеств, где множество технических результатов по логике первого порядка, по независимости и силе непротиворечивости, а также тот факт, что в нем прозрачно моделируются более сложные теории, превратились в Z Ф С в удобный общий критерий, lingua franca поля. Но это, как и в случае с латынью или английским языком, отчасти является исторической случайностью.

Теперь, как это произошло, « Математическое развитие теории множеств от Кантора до Коэна» Канамори является подробным источником. После громких споров по поводу своей аксиомы выбора Цермело в 1908 году создал систему Z из семи аксиом (не включая AC), которые « исходили из теории множеств в том виде, в каком она исторически дана… чтобы исключить все противоречия » и « сохранить все ценное ». Авторитетное резюме теории множеств, Grundzüge der Mengenlehre (1914) Хаусдорфа , которое должно было стать источником вдохновения для Бурбаки, не включало ее, см. Как теория множеств эволюционировала от Хаусдорфа до наших дней . Хаусдорф считал аксиоматизацию преждевременной и вместо этого использовал усовершенствованную наивную теорию множеств. Но в 1910-1913 годах Рассел и Уайтхед опубликовали свои Principia Mathematica , которые выполнили грандиозную задачу (в значительной степени с непризнанной помощью Алгебры логики Шредера).(1890-1905)): он убедил посвященных в том, что вся известная на сегодняшний день математика в принципе может быть полностью формализована.

В течение 1920-х годов произошли два важных события: фон Нейман и Френкель добавили аксиомы регулярности и основания к Z , и начала проявляться простота логики первого порядка. Последнее часто приписывают Сколему и Гильберту, см. Как логика первого порядка стала доминирующей формальной логикой? , но он был укреплен теоремами Гёделя, которые продемонстрировали его технические достоинства. По иронии судьбы, Гёдель первоначально доказал неполноту в п М , который не был первым заказом, и Цермело, который индоссировал Z с дополнительными аксиомами в 1930 г. современный Z Ф , выступал за чтение второго порядка. Как п М был постепенно вымыт из обращения из-за лабиринта разветвленных типов и неуклюжих обозначений, можно увидеть, отчасти, из Кто и когда заменил точечную запись Пеано в символической логике? Таким образом, ранние альтернативы отошли на второй план. Когда Бурбаки начал издавать свои Элементы математики в 1939 году, их аксиомы были не совсем аксиомами Цермело, но система была эквивалентна Z Ф С минус основание, см. Об аксиоматической системе Бурбаки для теории множеств .

Как насчет более поздних альтернатив? Гёдель показал, что п М теория типов была эквивалентна по силе согласованности и выразительной силе Z , который был проще и ближе к просторечию. Бернейс, которого предвосхитил фон Нейман, предложил теорию множеств с классами. Н Б г , принятый Гёделем в 1940 г., который оказался консервативным расширением Z Ф С . Куайн, еще один влиятельный сторонник логики первого порядка, предложил «Новые основы» в 1937 г., позже Н Ф U , который также оказался двуинтерпретируемым с Z Ф С . К 1960-м годам стало ясно, что подлинные альтернативы (см. обзор SEP ) занимаются вопросами, которыми не должны заниматься обычные математики. И Z Ф С имел преимущества простоты и знакомства. Для сравнения с более поздними «фундаментальными» альтернативами, не основанными на теории множеств, такими как теория категорий или недавние унивалентные основания, см. Dzamonja, Set Theory and its Place in the Foundations of Mathematics .

Этот ответ настолько хорош, что я сохранил его на свой компьютер.
«Фон Нейман и Френкель добавили к 𝑍 аксиомы регулярности и основания». Регулярность — это то же самое, что основание. Вы имеете в виду замену ?
NFU определенно нельзя интерпретировать по-разному с ZFC - у него слишком слабая сила согласованности. (И между тем, известно, что NF непротиворечива даже по отношению к большим кардиналам — есть заявленное Холмсом доказательство относительной непротиворечивости, согласно которому NF будет иметь гораздо более слабую силу согласованности, чем ZFC , но, насколько я знаю, это не так. был принят, несмотря на то, что существует уже несколько лет.)
Длинная версия @NoahSchweber SEP : « Мир NFU можно понимать как нестандартный начальный сегмент мира ZFC (который можно организовать так, чтобы он включал всю его стандартную часть!) с автоморфизмом и миром ZFC (или начальным сегментом она) может быть интерпретирована в НФУ как теория изоморфизма классов вполне обоснованных экстенсиональных отношений с вершиной (часто ограниченной ее строго канторианской частью); эти две теории взаимно интерпретируемы, поэтому соответствующие представления о мире допускают взаимный перевод» .
@Conifold Это странно. Если у меня нет ужасно глупого момента, это определенно неправда, поскольку ZFC доказывает непротиворечивость NFU ( мягко говоря ). Я думаю, что этот отрывок совершенно неверен.
Более того, хотя некоторые модели NFU возникают из нестандартных моделей ZF(C), я не думаю, что все они таковы, так что это также вводит в заблуждение. Я думаю, что автор пытается указать на то, как два «разновидности» теории множеств могут охватывать друг друга, но играет быстро и свободно с фактическими деталями.
@NoahSchweber Я полагаюсь на ваш опыт в этом. Не могли бы вы предложить правку (если поблизости есть действующая точка)?
Как ZFC стал стандартным основанием математики?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v