Каким условиям удовлетворяют глобальные координаты?

Минимальное требование для того, чтобы координатную карту можно было использовать в общей теории относительности, состоит в том, что метрика, выраженная в виде матрицы, всегда конечна и обратима. То есть оба$g_{ij}$и$g^{ij}$должен существовать. Это требует как того, чтобы метрика была невырожденной (что является независимым от координат критерием, в основном метрика должна иметь правильную сигнатуру), так и того, чтобы не было координатных особенностей, когда метрика покомпонентно выражается через эти конкретные координаты.

В зависимости от того, что мы хотим сделать, мы обычно хотим наложить более строгие требования регулярности, чем это. Например, мы, вероятно, хотим, чтобы метрика, выраженная в этих координатах, была такой, чтобы мы могли взять производные, необходимые для вычисления тензора Римана, иначе мы не смогли бы сформулировать уравнения поля Эйнштейна.

Допустимый набор глобальных координат — это просто корректная карта координат, которая охватывает все точки в пространстве-времени. Нет никаких требований, чтобы мы работали в глобальной диаграмме или чтобы такая диаграмма существовала.

В основном это связано с топологией пространства-времени. Это также связано с тем, как мы представляем координаты.

Возьмем сферу, например землю. Если бы мы попытались представить с помощью диаграмм, которые мы видим в книгах — это квадрат — мы увидим, что мы никогда не сможем сделать это с помощью одной страницы — нам всегда нужно больше, чем одна. Это потому, что квадрат по существу плоский, а сфера — нет.

Если бы мы вместо этого попытались представить его с помощью земного шара, мы сразу увидели бы, что необходим только один.

Теперь математический аппарат дифференциальной геометрии опирается на атлас лоскутов и эти лоскуты моделируются здесь только аналогом квадратов - евклидовыми пространствами. Он не допускает никакого другого вида.

Таким образом, если вы моделируете пространство-время в виде сферы и используете для его представления стандартную дифференциальную геометрию, ваш атлас не будет глобальным — в том смысле, что вам потребуется только один патч — ему всегда потребуется более одного.