Уточнение того, какая метрика считается плоским пространством

1) ОП спрашивает об использовании слова « плоская метрика» . Это означает псевдориманову метрику (произвольной сигнатуры), у которой соответствующий тензор кривизны Леви-Чивиты Римана равен нулю.

2) Однако слово «евклидово пространство» потенциально может вызвать путаницу среди математиков и физиков. Для математика евклидово пространство всегда является аффинным пространством , в то время как физики часто используют его как просто другое слово для риманового многообразия , которое не обязательно является аффинным.

Короче говоря, слово «евклидово» относится для физика к положительной сигнатуре (обычно в отличие от сигнатуры Минковского ), в то время как математик использует слово « евклид» для обозначения аффинной структуры.

Математик называет псевдоримановым многообразием с сигнатурой Минковского лоренцево многообразие .

Если вы используете разные единицы измерения для разных координат и если вы используете другую единицу для метрики расстояния, то диагональные элементы метрической матрицы могут отличаться от$1$. Например, если вы хотите измерять расстояния в метрах, но используете дюймы для$x$размер и сантиметры для$y$измерение, то двумерная метрика будет:

$$\begin{bmatrix} \mathrm{meters^2/inch^2} & 0 \\ 0 & \mathrm{meters^2/centimeter^2} \end{bmatrix}$$

Таким образом, в целом диагональные значения могут отличаться от$1$, но гораздо разумнее использовать одни и те же единицы для$x, y$и расстояние, и в этом случае все диагональные элементы будут$1$.

Теперь в четырехмерном пространстве-времени Минковского.$(t,x,y,z)$нашей вселенной метрика обычно записывается так:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

И в этом случае$-1$для направления времени и это существенно. Это не может быть изменено на$+1$и это то, что придает значение скорости света - в частности, свет всегда проходит «правильное» расстояние, равное 0, в полном четырехмерном пространстве-времени. Обратите внимание, что общее расстояние, равное 0, возможно только в том случае, если хотя бы один из диагональных элементов имеет знак, противоположный знаку других диагональных элементов. Фактически,$-1$часто пишется как$-c^2$что является еще одним указанием на то, что единица измерения времени отличается от единиц измерения пространственных координат. Опять же, используя «те же» единицы, можно изменить диагональный элемент на$-1$вместо.

Когда мы говорим «плоское» пространство, это может означать больше, чем просто евклидово пространство. В теории относительности плоское пространство-время является минковским — должна быть какая-то разница в знаках между знаками временной координаты и знаками пространственных координат.

Является ли локальное касательное пространство евклидовым или минковским, во многом зависит от контекста.