Какова барометрическая формула газового гиганта?

Эта формула предполагает постоянное гравитационное ускорение по всей высоте газового столба - разумное предположение для Земли, поскольку атмосфера тонкая по сравнению с размером планеты.

В качестве простого аргумента , если вы предположили, что состав один и тот же, ясно, что изменение высоты, необходимое для изменения давления на определенный коэффициент, меньше на Юпитере, чем на Земле. Гравитация сильнее, а радиус Юпитера больше. Оба эти фактора приводят к меньшей характерной высоте атмосферы. Это указывает на то, что приведенная выше цитата может быть менее правильной , чем обратное утверждение. Но есть еще много сложностей.

Очевидно, что в атмосфере Юпитера намного больше легкого газа, чем на Земле. Отчасти это связано с тем, что земная гравитация не способна удерживать водород от радиации в космосе. Таким образом, это толкает в другом направлении — делая атмосферу Юпитера более длинной характерной длины.

Но характерная длина — это еще не все. Очевидно, что Земля имеет хороший (согласованный) уровень земли. У Юпитера может быть фазовое изменение, отдаленно напоминающее это, но даже если произойдет резкое изменение плотности, это не будет похоже на Землю. Так что это поднимает вопрос о том, как мы должны определить область атмосферы Юпитера в первую очередь. Можем ли мы принять внутренний металлический Водород в центре за «атмосферу»? Скорее всего нет, но это самый крайний случай.

Дифференциальные уравнения, правильно описывающие систему, можно найти в других ответах. Для полноты они:

Но давайте перейдем к решениям для особых случаев, потому что я думаю, что это то, о чем просит ОП. В случае постоянной силы тяжести, идеального однородного газа и постоянной температуры атмосферное давление выглядит следующим образом:

Где$H$здесь характерная длина. Для Земли это около 7,4 км. Это зависит от температуры, поэтому она всегда в движении.

Теперь, если мы добавим приливную составляющую силы тяжести, мы можем получить новое выражение. Это предполагает$\frac{1}{r^2}$форма силы тяжести, а не постоянная. В этом случае решение дифференциального уравнения дает следующий профиль давления :

куда$H$одинаковая характерная длина.$r_0$- радиус самой планеты, а$r$(радиус) заменяет$h$(высота). Это уравнение является точным для конкретного случая:

1. постоянная температура
2. постоянный состав (гомогенный)
3. вкладом в гравитационное поле самого воздуха можно пренебречь

1 и 2 - ужасные предположения, очевидно. Для всех планет в атмосфере обычно существует локальный минимум температуры, а глубже в ней температура будет во много-много раз выше, что дает представление о том, насколько плохо предположение о постоянной температуре.

Однородное предположение также очень плохо, потому что газы тонко расслаиваются. Это не похоже на разделение нефти и воды, но чем выше вы поднимаетесь, тем выше будет концентрация более легких элементов. На самом деле, это главное объяснение того, почему атмосферы газовых гигантов изначально состоят из чистого водорода и гелия.

Тем не менее, это уравнение для давления все еще технически лучше, чем предположение о постоянной гравитации. Но это не самое важное для Юпитера. На самом деле, это, вероятно, больше относится к исправлению на Земле.

Для сферически-симметричного распределения масс в гидростатическом равновесии:

${dP\over dr}=-g\rho$

куда$P$это давление,$r$это радиус,$g$ускорение свободного падения как функция$r$, а также$\rho$плотность газа как функция$r$.

Затем вы интегрируете вверх или вниз от некоторых известных условий.

$g$как функция$r$является простым, поскольку мы предполагаем сферически-симметричное распределение массы.$g$зависит только от массы ниже$r$. Так$g={Gm(r)\over r^2}$, куда$m(r)$это масса тела ниже$r$. Так,$m(r)=\int_0^r\rho(r)\,4\pi r^2dr$.

Наконец, вам нужно уравнение состояния, относящееся$P$а также$\rho$. Самый простой — для идеального газа, полученный из старого доброго$PV=nRT$, который$P=\rho{kT\over\mu}$.$\mu$это молекулярная масса и$T$это температура.$k$– постоянная Больцмана.

Как отмечено в вопросе, изменения состояния приводят, как и следовало ожидать, к совершенно другим уравнениям состояния. Обратите внимание, что разные виды будут претерпевать изменения состояния при разных температурах и давлениях, поэтому реальное уравнение состояния может быть довольно сложным. Но закон идеального газа достаточно хорош, чтобы понять общее поведение в изменяющемся гравитационном поле.

Если вы предполагаете хорошо перемешанную атмосферу (что не обязательно соответствует гидростатическому равновесию), то вы можете рассмотреть$\mu$быть константой. Вам остается только температурный профиль,$T(r)$для того, чтобы сделать интеграцию.

Температурный профиль имеет значение. Вы не можете предположить постоянную температуру, кроме как при небольших изменениях высоты. Ниже приведен график температурных профилей с этой страницы :

Еще кое-что, о чем следует помнить: когда вы имеете дело с газовыми гигантами, у вас больше нет ничего, что отдаленно напоминало бы идеальный газ.

Давным-давно я провел грубый расчет давления и плотности атмосферы в дыре в Земле. Ответы безумны — на самом деле газ сожмется до жидкой плотности и перестанет подчиняться газовому закону.

Для чего это стоит:
использование чисел, которые приблизительно соответствуют Урану (атмосфера глубиной всего 350 км, относительно низкая местная g, холод, 100 бар на нижнем пределе атмосферы) и игнорирование гравитации самой атмосферы — подстановка одних и тех же чисел в барометрическую формулу и дано Аланом (при постоянной температуре), разница будет составлять около 6% в верхней части атмосферы. Разница становится больше с более высоким значением g, более низкой температурой и меньшим радиусом в нижней части атмосферы.