Каково распределение вероятностей для времени обнаружения радиоактивных выбросов из радиоактивного образца?

Функция плотности вероятности числа атомов по прошествии времени$t$дается распределением Пуассона, как уже заявил Джон Кастер в своем комментарии. Это стандартный результат в физике, и вы найдете много ссылок. Однако распределение времени между двумя распадами дается экспоненциальным распределением . Экспоненциальное распределение — это распределение без памяти .

Что означает это свойство без памяти? Предположим, что вероятность наблюдения хотя бы одного распада в течение интервала времени$dt$дан кем-то$P_1 = P(X<= dt)$. Далее предположим, что мы уже выждали время$T$и за это время не произошло распада. Свойство отсутствия памяти означает, что вероятность того, что мы наблюдаем распад в течение временного интервала$[T, T+dt]$это также$P_1 = P(X<= dt)$. Следовательно, сколько бы мы ни ждали, пока нет распада, вероятность наблюдения распада не меняется. Это именно то, что мы ожидаем от случайного процесса, такого как радиоактивный распад. например в$\beta^-$- распад нет " накопления" распада. Вместо этого нейтрон внезапно распадается на свои составляющие.

Процесс Пуассона против процесса чистой смерти
Вопреки непосредственной интуиции (отраженной в комментариях и более ранней версии моего собственного ответа), мы имеем дело здесь не с процессом Пуассона , а с процессом чистой смерти (называемым так как частный случай более общий процесс рождения и смерти ). Оба являются марковскими процессами, где вероятность следующего события зависит только от параметров предыдущего события. Однако в пуассоновских процессах эта вероятность не зависит от общего числа предшествующих событий, тогда как в процессе чистой смерти она зависит.

Вероятность иметь$n$нераспавшихся атомов описывается следующими уравнениями:

$$\dot{p}_n(t) = -\lambda np_n(t) + \lambda (n+1)p_{n+1}(t), n>0,\\ \dot{p}_0(t) = \lambda p_1(t)$$ Первый член описывает уменьшение вероятности того, что$n$атомов за счет распада одного атома из$n$, второй член описывает увеличение этой вероятности за счет распада одного атома среди$n+1$. Отличие от процесса Пуассона заключается в наличии факторов$n$и$n+1$в скоростях, отражающих тот факт, что вероятность распада атома пропорциональна количеству атомов.

Приведенные выше уравнения можно легко преобразовать в уравнение для среднего числа атомов:

$$N(t) = \sum_0^{N_0}p_n(t)$$ с раствором $$N(t)=N_0e^{-t/T}.$$

Вероятность выживания и вероятность перехода
Таким образом, вероятность выживания , т. е. вероятность того, что после события распада во времени$t'$мы не наблюдаем другого события распада до времени$t$является

$$S(t|n,t')=e^{-\lambda n(t-t')},$$ тогда как плотность вероятности другого распада во времени$t$является $$f(n-1, t|n, t') = -\frac{d}{dt}S(t|n,t') = \lambda n e^{-\lambda n(t-t')}$$

Совместная плотность вероятности нескольких событий
Совместная плотность вероятности событий, происходящих в определенное время$t_M>t_{M-1}>...>t_2>t_1$, лежащий в промежутке$[t_0, t]$, при условии наличия$N_0$атомы в$t_0$, затем дается

$$f(t, t_M, t_{M-1}, ..., t_2, t_1|N_0)=\\S(t|t_M, N_0-M)f(N_0-M, t_M|N_0-M+1, t_{M-1})...f(N_0-2, t_2|N_0-1, t_1)f(N_0-1, t_1|N_0, t_0)=\\ S(t|t_M, N_0-M)\prod_{m=1}^Mf(N_0-m, t_m|N_0-m+1, t_{m-1})$$

Ссылки
В качестве общего (хотя и немного продвинутого) математического текста по точечным процессам и анализу выживаемости я предлагаю Aalen et al., Survival and event history analysis.

Обновление
я добавляю для полноты решения для$p_n(t)$:

$$P(n, t|N_0) = \begin{cases} {N_0\choose n}e^{-n\lambda t}\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{N_0-n}, \text{ for } n\leq N_0,\\ 0, \text{ otherwise}. \end{cases}$$

Если ваше время выборки сравнимо со сроком службы$T$вашего эмиттера, то распределение отсчетов будет не равномерным, а экспоненциальным: в двух маленьких бинах, разделенных$T$, более ранний бин будет иметь больше счетчиков в раз$e$.

Если вы пробуете какое-то время$\delta t$это мало по сравнению со сроком службы излучателя,$\delta t \ll T$, есть еще склон$\frac{d}{dt}N(t) = - N(t)/T$в скорости счета. Если пренебречь высшими производными, можно ожидать, что каждый временной бин будет содержать меньше отсчетов, чем его предшественник, в раз.$\delta t / T$. Однако то, сможете ли вы различать скорости счета в соседних ячейках, зависит от абсолютного числа включенных вами счетчиков. Благодаря статистике Пуассона, два интервала времени, для которых прогнозируется получение$N$на самом деле получит$N\pm\sqrt N$. Итак, если вы хотите различить два соседних интервала времени, имеющих ширину$\delta t/T = 1\%$, количество отсчетов в каждом бине, необходимое для статистической достоверности, примерно равно$\frac{1}{\sqrt{1\%}} = 10^4$. Если количество распадов, обнаруженных в каждом интервале времени, невелико, будет невозможно отличить фактическое экспоненциальное затухание от вашего предположения о равномерном распределении.

Вас интересует поступление событий в пределах одного временного интервала, на что я говорю: уменьшите свои временные интервалы и используйте мой анализ.

Распределение интервалов между последовательными связанными событиями также связано с распределением Пуассона, хотя и несколько закрученным образом. Предположим, что ваши события происходят равномерно, со средней скоростью$1/\tau$, но независимыми и некоррелированными. Ваше первое событие запускает часы, которые не менее произвольны, чем любая другая отправная точка. Если вы подождете, пока$\tau$после ваших часов вы ожидаете наблюдать$1\pm1$дальнейшие события; если вы подождете, пока$2\tau$вы ожидаете наблюдать$2\pm\sqrt2$дальнейшие события; если вы подождете, пока$10\tau$вы ожидаете наблюдать$10\pm\sqrt{10}$дальнейшие события. Вы можете инвертировать это и сказать, что вероятность наличия$10\tau$(или более) интервал между двумя последовательными событиями равен вероятности выпадения нуля из распределения Пуассона со средним$10$: небольшой, но не незначительный. Вероятность иметь$\tau$(или более) интервал между последовательными событиями равен вероятности извлечения нуля из распределения Пуассона со средним$1$: о$1/e$.

Если вы интегрируете этот процесс, вы узнаете, что время между прибытиями описывается экспоненциальным распределением .