Почему мы делим стандартное отклонение на n−−√n\sqrt{n}? [дубликат]

Question

Почему мы делим стандартное отклонение на n−−√n\sqrt{n}? [дубликат]

Золото

Я изучал экспериментальную физику по книге «Искусство экспериментальной физики», и в главе об анализе ошибок меня что-то беспокоило. Автор говорит:

Теперь, когда мы определили «наилучшее значение» измерения, т. е. $\bar{x}$ , нам нужно оценить неопределенность или ошибку этого значения. Начнем с определения одного способа, которым можно охарактеризовать разброс данных о среднем значении.

Стандартное отклонение $s$ определяется как

$с "=" \sqrt{\frac{1}{н - 1} \sum_{я "=" 1}^{н} ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{2}}$ $s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$

Если стандартное отклонение мало, то и разброс измеренных значений относительно среднего невелик; следовательно, точность измерения высока. Обратите внимание, что стандартное отклонение всегда положительное и имеет те же единицы измерения, что и измеренные значения.

Ошибка или неопределенность среднего значения, $\bar{x}$ , является стандартным отклонением среднего , $s_m$ , который определяется как

$с_{м} "=" \frac{с}{н^{1 / 2}}$ $s_m = \dfrac{s}{n^{1/2}}$

где $s$ стандартное отклонение и $n$ это общее количество измерений.

Затем сообщается результат

$\bar{Икс} \pm с_{м} .$ $\bar{x}\pm s_m.$

Теперь, почему, чтобы получить ошибку измеренного количества, мы должны разделить стандартное отклонение на $\sqrt{n}$ вместо того, чтобы просто использовать стандартное отклонение?

Почему все делается именно так?

Qмеханик

Будет ли Cross Validated лучшим ответом на этот вопрос?

Золото

@Qmechanic, я думал опубликовать его в физике, потому что это определение было сделано в контексте экспериментальной физики. Поэтому я хотел точно знать, почему в экспериментальной физике нужно делить

s

$s$ к

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ . Здесь не по теме?

пользователь10851

Возможный дубликат нескольких измерений одной и той же величины - объединение неопределенностей

Питер

@Qmechanic В обычном мире некоторые пользователи SE могли бы просто решить предложить вопрос резюме и решить, принимают ли они его. Честно и быстро. Территориальные конфликты не были слышны в течение всего процесса. Да, я знаю, это не ваша ошибка, что мы весьма далеки от этой идеальности.

Эмиль

Таким образом, кажется, что выражение становится

\sqrt{(} \frac{n}{n - 1} \sum [(\frac{x_{i} - {\bar{x}}_{i}}{n})^{2}])

$\sqrt(\frac{n}{n-1}\sum[(\frac{x_i-\bar x_i}{n})^2])$ если я снова не наделал ошибок. Это выглядит немного более доступным для меня. Немного похоже на норму L2 средней ошибки.

Ответы (1)

Почему мы делим стандартное отклонение на n−−√n\sqrt{n}? [дубликат]

Будет ли Cross Validated лучшим ответом на этот вопрос?
@Qmechanic, я думал опубликовать его в физике, потому что это определение было сделано в контексте экспериментальной физики. Поэтому я хотел точно знать, почему в экспериментальной физике нужно делить $s$ к $\sqrt{n}$ . Здесь не по теме?
Возможный дубликат нескольких измерений одной и той же величины - объединение неопределенностей
@Qmechanic В обычном мире некоторые пользователи SE могли бы просто решить предложить вопрос резюме и решить, принимают ли они его. Честно и быстро. Территориальные конфликты не были слышны в течение всего процесса. Да, я знаю, это не ваша ошибка, что мы весьма далеки от этой идеальности.
Таким образом, кажется, что выражение становится $\sqrt(\frac{n}{n-1}\sum[(\frac{x_i-\bar x_i}{n})^2])$ если я снова не наделал ошибок. Это выглядит немного более доступным для меня. Немного похоже на норму L2 средней ошибки.

Фейнфан · Answer 1

Одна концепция, необходимая для понимания этого процесса, заключается в том, что все, что мы измеряем в лаборатории, в основном является выборкой из большого количества экспериментов, необходимых для определения фактического среднего значения. $\mu$ . Таким образом, среднее значение, полученное в результате эксперимента, т. е. среднее значение измеренного значения $N$ раз - это в основном среднее значение выборки.

Мы можем получить фактическое среднее значение, повторяя измерение бесконечное количество раз, что дает нам нормальную кривую со средним значением. $\mu$ и дисперсия $\sigma^2$ . Поскольку на практике это неосуществимо, мы проводим конечное число измерений. $X_1, X_2, ... , X_N$ в лаборатории и возьмите среднее значение образца $\bar{X}$ , определяется как:

\bar{Икс} "=" \frac{{Икс}_{1} + {Икс}_{2} + . . . + {Икс}_{Н}}{Н}

$\begin{equation} \bar{X}= \frac{X_1+X_2+...+X_N}{N} \end{equation}$

Это указано как «среднее значение, полученное в эксперименте». Стоит отметить, что $\bar{X}$ является не определенным значением , а случайной величиной и имеет стандартное отклонение ( $\sigma_\bar{X}$ ), связанный с ним, который представляет для нас интерес.

Каждое отдельное измерение $X_1, X_2, ... , X_N$ также являются нормальными случайными величинами, независимыми и одинаково распределенными со средним $\mu$ и дисперсия $\sigma^2$ . Следует уточнить, что это стандартное отклонение ( $\sigma$ ) отличается от стандартного отклонения ( выборочного ) среднего ( $\sigma_\bar{X}$ ).

Так как все $X_i$ идентичны и независимы, дисперсия $N\bar{X}\left(=X_1+X_2+...+X_N\right)$ является

о_{Н \bar{Икс}}^{2} "=" Н о^{2} ⟹ Н^{2} о_{\bar{Икс}}^{2} "=" Н о^{2}

$\begin{equation} \sigma^2_{N\bar{X}}=N\sigma^2 \implies N^2\sigma^2_{\bar{X}}=N\sigma^2 \end{equation}$

∴ о_{\bar{Икс}}^{2} "=" \frac{о^{2}}{Н}, или о_{\bar{Икс}} "=" \frac{о}{\sqrt{Н}}

$\begin{equation} \therefore \sigma^2_{\bar{X}}=\frac{\sigma^2}{N} \text{, or } \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} \end{equation}$

Ключевым мотивом этого анализа ошибок является рассмотрение всего набора измерений (необходимых для фактического среднего значения) как генеральной совокупности , а набора конечных зарегистрированных наблюдений (сделанных в лаборатории) как выборки . Тогда это не что иное, как нахождение стандартной ошибки в среднем по выборке.

Одно из следствий этой формулы заключается в следующем: «Чтобы уменьшить ошибку среднего на $k$ , число проводимых наблюдений должно быть увеличено до $k^2$ ."

Почему мы делим стандартное отклонение на n−−√n\sqrt{n}? [дубликат]

Золото

Qмеханик

Золото

пользователь10851

Питер

Эмиль

Ответы (1)

Фейнфан

Распределены ли результаты измерения наблюдаемой гауссианы?

Проблема измерения неопределенности

Почему мы не используем абсолютную ошибку при вычислении произведения двух неопределенных величин?

Вопрос по анализу ошибок, помогите пожалуйста?

При анализе данных эксперимента каждый xixix_i является случайной величиной?

Должны ли мы включать инструментальную неопределенность при расчете неопределенности измерения?

Вопрос о неопределенности

Как правильно прочитать результат измерения, если это число?

Неточность измерения гравитационной постоянной с помощью эксперимента Кавендиша

Сложение по значащим цифрам