Количество распадов в цепной реакции

Общеизвестно, что вероятность н переходит из одной системы в другую А → Б (например, электроны, распадающиеся с одного атомного энергетического уровня на другой, или мюоны, распадающиеся на нейтрино и электроны и т. д.) в данный период времени задается распределением Пуассона.

Однако рассмотрим следующую простую цепную реакцию

А → λ А Б → λ Б С

где λ я скорость затухания. В т "=" 0 (начальный момент) в Б или С , все они в А . Вопрос в том, как вычислить или оценить вероятность данного числа распадов из А к Б плюс количество распадов от Б к С в данный период времени . Другими словами, можно предположить, что в каждой из реакций испускается одна частица, скажем, один фотон, и хотелось бы оценить вероятность получения определенного количества испущенных фотонов за период времени.

Вероятность н распадается от А к Б через время Δ т должно быть задано распределением Пуассона со средним числом λ А Δ т . Однако интересно, какова вероятность м распадается между Б и С в период времени. Я не думаю, что это следует распределению Пуассона, учитывая, что вероятность получения н распады в данный период времени должны зависеть от времени.

Это должно быть что-то хорошо известное, поскольку оно имеет приложения в ядерной (деление), атомной (спонтанное излучение) и физике элементарных частиц ( π − собираюсь мю − (испуская ν ¯ мю ) с последующим распадом мюона). А также в химии. Кажется, что-то довольно обычное.

Ссылки приветствуются.

NB: я не спрашиваю о распределении частиц в А , Б , и С как функция времени.

Я полагаю, что это простая свертка заселенностей как функции времени с вероятностями распада на атом. Я не знаю, есть ли решение в закрытой форме или нет, но Монте-Карло достаточно просто собрать большую популяцию, чтобы получить полезную выборку.
@dmckee Спасибо! Я знаю о Монте-Карло, но ищу точное или приближенное аналитическое решение. Можете ли вы расширить свой комментарий в ответ? Я не вижу, откуда берется свертка. Что такое "вероятность распада на атом"$?
@dmckee Не могли бы вы прокомментировать мой ответ ниже?

Ответы (1)

Вероятность получения н затухает через промежуток времени Δ т дан кем-то

п ( н ) "=" ∑ м "=" 0 н п А ( м ) ⋅ п Б ( н − м )

где п А ( н ) представляет собой распределение Пуассона со средним

λ А ∫ т я т я + Δ т Н А ( т ′ ) г т ′
и эквивалентно для п Б ( н ) . И Н А ( т ) , Н Б ( т ) соответственно, количество А -частицы и Б -частицы. Обратите внимание, что это текущее количество частиц, а не среднее число, указанное

⟨ Н А ( т ) ⟩ "=" Н 0 е − λ А т
⟨ Н Б ( т ) ⟩ "=" Н 0 λ А λ А − λ Б ( е − λ Б т − е − λ А т ) ,

как указал dmckee. Эти средние значения могут быть разумным приближением к текущим значениям, если популяции достаточно велики.

(Я не проверял этот ответ, не стесняйтесь критиковать)

Это кажется неправильным, потому что для т "=" 0 вероятность равна нулю для каждого н при условии Н Б ( 0 ) "=" 0
"количество числовых частиц"? Ты хотел сказать тотальный?
Эта отредактированная версия хороша в качестве отправной точки, но чтобы понять полный дистрибутив для п ( н ) Вы должны понимать вариацию Н А ( т ) и Н Б ( т ) что является сложной частью проблемы и что я имел в виду, свертываясь с населением.
@dmckee Что вы подразумеваете под «понимать»? Эволюция популяций задается очень простыми дифференциальными уравнениями первого порядка. Извилины \int_0^t'f(t')g(tt')dt'
Ожидание популяций задается этими прекрасными уравнениями первого порядка, но в любом конкретном прогоне фактическая популяция будет меняться , что способствует полной вариации п ( н ) . Если ваши популяции ( Н А и Н Б ) велики, этим можно пренебречь, но я предположил, что вы задали сложный вопрос.
@dmckee Да, меня интересует случай, когда население значительно меняется. Итак, вы делаете вывод, что вероятность зависит от фактического количества частиц, а не от среднего числа, верно?
Ага. Это наиболее важно, когда популяции очень малы, но, по крайней мере, это простые случаи для Монте-Карло.
Количество распадов в цепной реакции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v