Координаты против геометрии: как мы можем знать, что две системы координат описывают одну и ту же геометрию?

В общем, вы не можете знать, описывают ли две системы координат одну и ту же геометрию.

Это несколько неожиданный результат, но он сводится к различным результатам вычислимости о разрешимости эквивалентности выражений: я думаю, что ключевым моментом является теорема Ричардсона, которая говорит, что вообще неразрешимо, эквивалентны ли два выражения, даже если эти выражения лишь слегка сложны (конечно, те выражения, которые встречаются на практике, достаточно сложны). Вот почему, например, упрощение в системах компьютерной алгебры затруднено (и вообще невозможно).

Таким образом, в общем случае, учитывая две системы координат с метрикой, выраженной в каждой системе, вы не можете знать , представляют ли они одну и ту же геометрию. Или, если быть точным, нет никакого алгоритма, который сказал бы вам это (возможно, человек мог бы знать по волшебству или что-то в этом роде).

Это оказалось важным в прошлом. В частности, в ОТО существует проблема перечисления и классификации точных решений уравнений поля: по заданному решению (выраженному в виде системы координат и метрики) как узнать, является ли оно действительно новым решением или же оно старый переоделся в новые координаты? Ну, в общем, ты не можешь знать.

Но, конечно, в очень многих случаях вы можете знать, и в 1980-х годах были предприняты значительные усилия по разработке инструментов, которые, имея два решения, пытались бы сделать вывод, являются ли они одинаковыми, иногда с некоторым ручным вмешательством. Я немного поработал над некоторыми из этих инструментов.

Заметьте, я не говорю, что вы никогда не можете знать: очень часто вы можете: я говорю, что вы не всегда можете знать, потому что существует проблема остановки, и, кроме того, это может иметь значение.

Очень хороший случай, когда вы можете знать, это когда вам дано явное отображение из одной системы координат в другую, конечно: вы можете проверить, что происходит с формой метрики в этом случае, и проверить, что она такая же, как форма в новой системе координат. Проблема возникает, когда вы не знаете отображение.

Существует страница Википедии о точных решениях, которая, вероятно, имеет несколько хороших ссылок. В частности, я подозреваю, что « Точные решения уравнений поля Эйнштейна» (2-е изд.) Стефани Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М .; Хоэнселерс, К.; & Herlt, E - хороший справочник, хотя у меня нет копии.

К счастью, все не так безнадежно, как описывает @tfb. Его ответ очень общий и может быть дан почти дословно, ибо любая проблема есть любая формализованная дисциплина.

В этой конкретной области существует алгоритм, который может различать 2 многообразия: алгоритм Картана-Карлхеде.

Проще говоря, если вы хотите сравнить две диаграммы/атласы, вы проверяете скалярные инварианты, такие как скаляр Риччи или скаляр Кречмана . Если какой-либо из этих скаляров явно отличается от одной карты к другой, то многообразия явно различны.

Если вы используете CAS (например, Mathematica), вычислите инварианты для двух разных графиков одной и той же метрики и постройте их для разных диапазонов координат. Вы увидите, что сюжеты одинаковы. На самом деле, инвертируя - хотя бы локально - один инвариант, вы можете найти функциональную связь между двумя графиками.

Для более подробной информации проверьте:

https://физика.stackexchange.com/a/167838

а также:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan%E2%80%93Karlhede_algorithm

В некотором смысле очевидно, что существуют разные описания одних и тех же явлений; допустим, вы роняете яблоко перед собой, затем двигаетесь влево - ничего, что касается физики падающего яблока, не изменилось

Если вы описываете две ситуации в координатах, то эти два описания будут разными, но они описывают одну и ту же физику; таким образом, мы думаем, что есть какой-то способ связать эти два описания.

Математически это изменение координат; именно так классически описывались векторы и тензоры.

Например, контравариантные преобразования таким-то и таким-то образом; и так далее для ковиантных векторов, тензоров и плотностей; математически мы говорим, что это локальное описание.

В дифференциальной геометрии тангенс, котангенс, тензор и расслоение формы определяются глобально; тогда, взяв сечения, мы получим соответствующее поле, то есть (касательное) векторное поле или симметричное 2-тензорное поле, также известное как метрика.

Если затем взять два перекрывающихся участка, скажем, тензора, и посмотреть на их свойства преобразования; это будет то же самое, что и классическое описание тензора, т. е. тензор типа p,q преобразуется таким-то и таким-то образом.

Наконец, мы не можем сказать по одному единственному преобразованию в одном патче всю геометрию, но обычное описание таких неявно дает нам атлас патчей, и мы можем склеить их вместе, чтобы получить многообразие и структуру расслоения. Обычно это остается неявным, но во вводной части текста по дифференциальной геометрии это обычно подробно разъясняется. См., например, текст Михора «Естественные операции» на атласах коллекторов и пучков.

Изменение координат равносильно диффеоморфизму . Геометрия не изменяется диффеоморфизмами. Поскольку геометрия — это то же, что и физика, физика также остается неизменной благодаря диффеоморфизмам. Различные системы координат позволяют извлекать информацию удобными способами, но все они эквивалентны.