Магнитное удержание в токамаке

Обзор

Существуют стандартные подходы к ответу на этот вопрос, которые, как мне кажется, не удовлетворяют тех, кто интересуется количественными деталями. Итак, в дальнейшем я объясню значение полоидального магнитного поля, используя явные решения одночастичных уравнений движения, за которыми следуют графики этих решений.

Движение частицы в тороидальном поле состоит из (1) быстрой круговой орбиты частицы вокруг магнитного поля вместе с (2) медленным параллельным движением и дрейфовым движением центра круговой орбиты в (1). Движение (1) называется гиродвижением, а движение (2) — параллельным сносом . Таким образом, в (2) речь идет о движении гироцентра . Понятие движения гироцентра является фундаментальным для теории переноса плазмы и является основой как неоклассической, так и гирокинетической теории. Символически движение гироскопа записывается как

$$\mathbf{v} = v_\parallel \mathbf{b} + \mathbf{v}_d \; ,$$

куда$v_\parallel = v_\parallel(\theta)$параллельная скорость ,$\mathbf{b} = \mathbf{B}/B$- единичный вектор в направлении магнитного поля$\mathbf{B}$, и$B = B(\theta)$есть напряженность магнитного поля . Также,$\mathbf{v}_d$скорость дрейфа . Скорость дрейфа обсуждается до тошноты в другом месте, поэтому мы просто напишем радиальный дрейф без вывода.

Движение гироскопа

Уравнения движения центра гироскопа хорошо известны, но для токамака произвольной формы они сложны. Однако, если поперечное сечение токамака круглое, а соотношение сторон$R/r \gg 1$(здесь,$R$это большой радиус и$r$— малый радиус), то уравнение относительно простое. В этом пределе уравнения движения имеют вид

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{dt} \simeq &~ v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\varphi = \frac{v_\parallel}{R_0} \quad \text{(toroidal direction)} \\ \frac{d\theta}{dt} \simeq &~v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\theta =\frac{v_\parallel}{q R_0} \quad \text{(poloidal direction)} \\ \frac{dr}{dt} \simeq &~ \mathbf{v}_d \cdot \mathbf{e}_r =-\frac{v_\parallel^2+\mu B}{\Omega R_0} \sin\theta \quad \text{(radial direction)} \end{align}$$

Я использую тот факт, что$v_\parallel \gg v_d$чтобы эти уравнения были как можно более простыми. Обратите внимание, что энергия (по массе)$\varepsilon = v^2/2$и магнитный момент$\mu = v_\perp^2/2B$являются сохраняющимися (постоянными вдоль орбиты) величинами. Также,$\Omega$— гирочастота, зависящая от массы частицы (иначе явной зависимости от массы нет). Наконец, запас прочности ($q$) — отношение полей

$$q \simeq \frac{r B_\varphi}{R B_\theta}$$

Отсюда следует, что в пределе отсутствия полоидального поля$q \rightarrow \infty$. Одним интересным свойством этих орбит является то, что при некоторых значениях параметров орбиты захватываются — с характерной формой банана — в полоидальной плоскости. Эти банановые орбиты показаны ниже.

Уравнения, подходящие для программирования

Как написано, они приблизительны, но дают огромное представление о работе токамака. Однако они еще не совсем в полезной форме. Согласно теории равновесия плазмы, напряженность магнитного поля может быть записана как

$$B(\theta) = B_0 \left( 1-\epsilon \cos \theta\right) = B_0 G(\theta)$$

куда$\epsilon = r/R \ll 1$.

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{d\tau} = &~ \pm \sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{d\theta}{d\tau} = &~\pm \frac{1}{q}\sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \left( 1-\lambda G/2\right) \sin\theta \end{align}$$

куда$\tau = vt/R$время транзита и$\rho = v/\Omega$- гирорадиус, и$\lambda = \mu B_0/\varepsilon$является параметром. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы выбрать правильный знак квадратного корня для орбит захваченных частиц.

$$\begin{align} \text{Passing particles} \quad 0 < \lambda < \frac{1}{1+\epsilon} \\ \text{Trapped particles} \quad \frac{1}{1+\epsilon} < \lambda < \frac{1}{1-\epsilon} \end{align}$$

Примеры прохождения и банановых орбит

Параметр$r(0)=0.7$,$\rho=0.01$и$\epsilon=0.2$, мы можем проследить формы орбит на плоскости$\varphi=0$(так называемая полоидальная плоскость ). Отметим, что, согласно результатам предыдущего раздела, частицы с$\lambda < 0.0833$проходят и$0.833 < \lambda < 1.25$попали в ловушку. На графиках контур$r=1$представляет собой границу плазмы . Таким образом, в качестве единицы длины мы выбрали малый радиус плазмы. Результаты иллюстрируют как круговые (проходящие) орбиты, так и захваченные (банановые) орбиты.

Простой пропускной лимит

Когда$\lambda \ll 1$, частицы проходят с простым уравнением орбиты

$$\begin{align} \frac{d\theta}{d\tau} = &~ \frac{1}{q} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \sin\theta \end{align}$$

Решение этих уравнений дает параметрическую форму простой орбиты пролета частицы с шириной орбиты $q\rho$:

$$r(\theta) = r(\pi/2) + q \rho \cos(\theta)$$

Это подтверждает известный результат о том, что ширина орбиты больше гирорадиуса в раз$q$. В токамаке обычно$1 < q < 4$.

Потеря ограничения свободы

Рассмотрим предел прохождения, описанный в предыдущем разделе, для которого орбита с равна$q\rho$. Очевидно, когда$q\rho > 1$, орбита больше плазмы и будет потеряна при пересечении этой границы. Таким образом, полоидальное поле должно не только существовать, но и быть достаточно сильным, чтобы обеспечить$q\rho \ll 1$.

Верно то, что геометрия с чисто тороидальным магнитным полем (т.е. где силовые линии не закручены) не приводит к удержанию. Такие устройства иногда называют простым намагниченным тором . Проблема заключается в различной напряженности магнитного поля в поперечном сечении тора, как вы его описали, что приводит к дрейфу электронов и ионов в противоположных направлениях (вверх и вниз).

Эти дрейфовые движения приводят к вертикальному электрическому полю, что приводит к$E\times B$дрейф, направление которого не зависит от заряда. Для чисто вертикального Е-поля и чисто тороидального В-поля дрейф идет по радиальной координате и плазма теряется. Нет заточения.

Вы можете преодолеть это, скручивая силовые линии магнитного поля, как вы упомянули. Идея проста: заряженные частицы могут свободно двигаться вдоль силовых линий магнитного поля. Подумайте о скрученной силовой линии, соединяющей область в верхней половине тора и область в нижней половине. Помните, что между этими двумя областями существует потенциальная разница (как только что объяснено, и как также объяснено вами). Благодаря соединению силовой линией эта разность потенциалов просто аннулируется, электроны текут в положительное поле, а ионы — в отрицательное (соответствующие токи называются токами Пфирша-Шлютера ).

Электрического поля больше нет, нет$E\times B$дрейф, никаких потерь плазмы (по крайней мере, не из-за этого механизма), и у нас есть хорошее тороидальное устройство удержания, такое как токамак.

Ответы Альфа и Джаканди уже завершены - я просто хочу добавить краткий ответ, используя сохраняющиеся величины движения одной частицы.

Одночастичный лагранжиан не зависит от тороидального угла ($\phi$) из-за тороидальной периодичности винтового поля, т.е. тороидальной симметрии. Это приводит к сохраняющемуся тороидальному угловому моменту

$$\begin{equation} p_{\mathrm{can}} = (m v_{\phi} - q A_{\phi})R \approx m v_{\parallel} R - q \psi = \rm{constant}\,, \end{equation}$$ куда$\psi$- полоидальный магнитный поток, обусловленный полоидальным магнитным полем. Сохраняемая энергия $$\begin{equation} E=\frac{1}{2} m v_{\parallel}^2 + \mu B=\mathrm{constant}\,. \end{equation}$$ Так как магнитный момент$\mu$в приведенном выше уравнении энергии является адиабатическим инвариантом,$v_{\parallel}$ограничен. В результате полоидальный магнитный поток$\psi$также ограничено законом сохранения углового момента. Следовательно, движение частицы ограничено областями определенного полоидального магнитного потока, поэтому полоидальная составляющая магнитного поля решает проблему удержания. В токамаке полоидальное поле создается тороидальным током плазмы, а в стеллараторе как полоидальное, так и тороидальное поля создаются внешними токами.

Это описание можно найти (вместе с хорошим объяснением дрейфа) в статье де Бланка о направлении движения центра .