Метрический тензор в специальной и общей теории относительности

Начнем с самого начала:

Позиция теории относительности — будь то специальная или общая — заключается в том, что пространство-время есть многообразие . $\mathcal{M}$, то есть что-то локально гомеоморфное декартову пространству$\mathbb{R}^n$($n = 4$в случае относительности), но не глобально.

Такие многообразия обладают касательным пространством $T_p\mathcal{M}$в каждой точке, где живут векторы, о которых обычно говорят. Если вы выбираете координаты$x^i$на многообразии, то пространство касательных векторов равно

$$T_p\mathcal{M} := \{\sum_{i=0}^3 c^i \frac{\partial}{\partial x^i} \lvert c^i \in \mathbb{R} \}$$

Когда мы говорим, что тупель$(c^0,c^1,c^2,c^3)$является вектором, мы имеем в виду, что он соответствует объекту$c^i\partial_i \in T_p\mathcal{M}$в какой-то момент$p \in \mathcal{M}$.

Метрика на _$\mathcal{M}$можно задать, указав невырожденную билинейную форму в каждой точке

$$g_p : T_p\mathcal{M} \times T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$$

Что вы узнали «в целом», так это то, что компоненты метрики для выбранных базисных векторов$\partial_i$из$T_p\mathcal{M}$, определяется$g_{ij} = g(\partial_i,\partial_j)$. Теперь вы действительно можете рассматривать метрику как своего рода скалярное произведение, установив$X \cdot Y := g(X,Y)$для двух векторов$X,Y$. (Здесь содержится ответ на вашу вторую проблему) Но для неримановых многообразий, т. е. многообразий, в которых не все элементы метрики положительны, это не скалярное произведение в том смысле, к которому вы, возможно, привыкли. В частности, он может быть равен нулю . Векторы, для которых он равен нулю, обычно называют светоподобными или нулевыми .

Важно отметить, что многообразия не всегда ведут себя как декартово пространство.

Теперь для вашей третьей задачи нам понадобится понятие кокасательного пространства $T_p^*\mathcal{M}$. Это двойственное векторное пространство к касательному пространству, натянутое на дифференциалы$\mathrm{d}x^i : T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$для выбранной системы координат и определяется

$$\mathrm{d}x^i(\partial_j) = \delta^i_j$$

Теперь вспомним, что метрика представляла собой карту из удвоенного касательного пространства в$\mathbb{R}$. Таким образом, мы можем рассматривать его как элемент тензорного произведения $T_p^*\mathcal{M} \otimes T_p^*\mathcal{M}$, которое представляет собой пространство, натянутое на элемент формы$\mathcal{d}x^i \otimes \mathcal{d}x^j$. Поскольку метрика является элементом этого пространства, она расширяема в своей основе:

$$g = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

где физик просто бросает назойливую$\otimes$знак. Какое отношение это имеет к бесконечно малому расстоянию? Мы просто определяем длину пути$\gamma : [a,b] \rightarrow \mathcal{M}$быть с$\gamma'(t)$обозначающий касательный вектор к пути)$[1]$

$$L[\gamma] := \int_a^b \sqrt{\lvert g(\gamma'(t),\gamma'(t))\rvert}\mathrm{d}t$$

И, используя небрежные обозначения физиков,$g(\gamma'(t),\gamma'(t)) = g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}$, если мы понимаем$x^i(t)$как$i$-я координата точки$\gamma(t)$, и так:

$$L[\gamma] = \int_a^b \sqrt{g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}$$

Поскольку мы называем$\mathrm{d}s$бесконечно малый линейный элемент, который выполняет$L = \int \mathrm{d}s$, это наводит на мысль об обозначении

$$\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

Если мы заметим, что по определению касательных и кокасательных векторов дифференциалами и производными, как указано выше, вещи с верхними индексами преобразуются в точности противоположным образом из вещей с нижними индексами (см. также мой ответ здесь ), видно, что это действительно инвариантно относительно произвольных преобразований координат.

$[1]$ $\gamma'(t)$действительно является касательным вектором в следующем смысле:

Позволять$x : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^n$быть координатной картой. Рассмотрим тогда:$x \circ \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$. Поскольку это обычная функция между (подмножествами) декартовых пространств, она имеет производную

$$(x \circ \gamma)' : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$

Сейчас,$(x \circ \gamma)'^i(t)$можно рассматривать как компоненты касательного вектора$\gamma'(t) := (x \circ \gamma)'^i(t)\partial_i \in T_{\gamma(t)}\mathcal{M}$. Это несколько утомительное, но стоящее упражнение, чтобы показать, что это определение$\gamma'(t)$не зависит от выбора координат$x$.

---

Вы спрашиваете экзамен с поверхностями о чем-то другом. Вам дано вложение маломерного подмногообразия$\mathcal{N}$в декартово пространство

$$\sigma: \mathcal{N} \hookrightarrow \mathbb{R}^n$$

и попросили вычислить индуцированную метрику на подмногообразии из декартовой метрики

$$\mathrm{d}s^2 = \sum_{i = 1}^n \mathrm{d}(x^i)^2$$

(что является просто единичной матрицей в компонентной форме относительно любого ортонормированного базиса координат в$\mathbb{R}^n$, то есть скалярное произведение)

Теперь, как индуцируется метрика? Позволять$y : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathcal{N}$быть координатами для подмногообразия (на самом деле вам дано$\sigma \circ y$в вопросе) и$x$— координаты декартова пространства. Заметим, что любой морфизм многообразий$\sigma$индуцирует морфизм касательных пространств

$$\mathrm{d}\sigma_p : T_p\mathcal{N} \rightarrow T_{\sigma(p)}\mathbb{R}^n, \frac{\partial}{\partial y^i} \mapsto \sum_j \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}$$

называется дифференциалом _$\sigma$. Как морфизм векторных пространств, это линейное отображение, заданное в виде матрицы якобианом$\mathrm{d}\sigma^{ij} := \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}$морфизма многообразий. Теперь создание метрики означает установку

$$g_\mathcal{N}(\frac{\partial}{\partial y^i},\frac{\partial}{\partial y^j}) := g_\mathrm{Euclidean}(\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i}),\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^j}))$$

Справа теперь скалярное произведение двух обычных векторов в$\mathbb{R}^n$, и как называются ваши экзамены$\vec e_{y^i}$мой$\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i})$. Если вы заметите, что вам дано$\sigma \circ y$, то все, что вам нужно сделать, это вычислить компоненты метрики, вычислив$g_\mathcal{N}$как указано выше для всех возможных комбинаций$y^i,y^j$(в 2D, к счастью, их всего четыре).

Это моя первая проблема, так как модуль вектора не должен быть отрицательным.

Во-первых, хотя у вводной линейной алгебры есть много полезных свойств, которые вы должны иметь в виду при работе с ОТО, мышление в декартовых терминах с положительно определенными матрицами просто должно уйти. Векторы в теории относительности могут иметь отрицательную норму.

Несмотря на то, что это не часто делается в литературе, может быть полезно с педагогической точки зрения описать величину$\vec{x}$как$\lVert \vec{x} \rVert$скорее, чем$\lvert \vec{x} \rvert$, последнее слишком напоминает функцию абсолютного значения.

---

Я немного смущен тем, как символ$\cdot$здесь используется...

Это еще одна проблема с обозначениями. Когда-то в нефизической среде меня учили, что два вектора$\vec{x}$и$\vec{y}$живущие в пространстве внутреннего продукта, могли бы вычислить свой внутренний продукт,$(\vec{x}, \vec{y})$. В случае очень специального скалярного произведения, скалярного произведения, мы могли бы вычислить значение, складывая попарные произведения компонентов векторов, и мы называем этот результат$\vec{x} \cdot \vec{y}$.

Однако в теории относительности мы никогда не используем это декартово скалярное произведение. ¹ Таким образом, мы решили сделать этот символ означающим «применить метрику к векторам»:$\vec{x} \cdot \vec{y} = g(\vec{x}, \vec{y})$.

Если посмотреть на компоненты$\vec{x}$и$\vec{y}$, линейность$g$означает, что это может быть выражено как матрица с компонентами$g_{\mu\nu}$, где$g(\vec{x}, \vec{y})$понимается как «умножение матрицы на вектор-строку компонентов$x^\mu$с матрицей с компонентами$g_{\mu\nu}$с вектор-столбцом компонентов$y^\nu$.» Используя неявную нотацию суммирования Эйнштейна, мы можем записать это как$x^\mu g_{\mu\nu} y^\nu$, или еще лучше$g_{\mu\nu} x^\mu y^\nu$.

На самом деле, поскольку у нас есть метрика, у нас есть естественное двойственное пространство к нашему векторному пространству. Для любого$\vec{x}$, существует единственное линейное отображение$\tilde{x}$на векторном пространстве такое, что$\tilde{x}(\vec{y}) = g(\vec{x}, \vec{y})$для всех векторов$\vec{y}$. Таким образом "$\vec{x} \cdot \vec{y}$" можно интерпретировать как обычное "суммирование результатов покомпонентного умножения", если понимать, что мы берем компоненты двойственного вектора$\tilde{x}$вместе с нормальным вектором$\vec{y}$(и что основа для двойственного пространства двойственна той, которую используют для исходного векторного пространства).

Если метрика является декартовой, то матричное представление является единичной матрицей, и поэтому первая интерпретация обозначения сводится к стандартному скалярному произведению «не думай слишком много». На языке двойственных пространств декартова метрика индуцирует тривиальное отображение векторов в их двойственные: компоненты остаются прежними. Таким образом, даже не отслеживается, брали ли мы компоненты из$\vec{x}$или$\tilde{x}$.

---

Моя третья проблема заключается в том, что я не уверен, где уравнение$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta$происходит от.

За этим утверждением стоит глубокая дифференциальная геометрия, и я дам лишь краткий обзор. Для каждого индекса$\mu$,$x^\mu$является скалярным полем на вашем пространственно-временном многообразии. Оператор внешней производной$\mathrm{d}$превращает скаляры в двойственные векторы (среди прочего) и в этом особом случае действительно является просто знакомым оператором градиента.

Рассмотрим точку в пространстве-времени. В этот момент ваши координаты индуцируют производные по направлению$\partial/\partial x^\mu = \partial_\mu$, и их можно взять за основу для векторов в этой точке. Двойственное пространство фактически имеет в качестве соответствующей основы градиенты$\mathrm{d}x^\mu$. ²

По определению двойственного базиса мы знаем, что$\mathrm{d}x^\mu(\partial_\nu) = \delta^\mu_\nu$. Рассмотрим вектор$\vec{V} = V^\alpha \partial_\alpha$. Мы знаем$\mathrm{d}x^\mu(\vec{V}) = V^\alpha \mathrm{d}x^\mu(\partial_\alpha) = V^\alpha \delta^\mu_\alpha = V^\mu$. (Первое равенство вытекает из линейности$\mathrm{d}x^\mu$; см. также сноску ² .) Таким образом, в любом фиксированном базисе

$$g(\vec{V}, \vec{W}) = g_{\alpha\beta} V^\alpha W^\beta = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha(\vec{V}) \mathrm{d}x^\beta(\vec{W}) = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta (\vec{V}, \vec{W}).$$

Единый, неделимый символ»$ds^2$" это просто сокращение для тензора$g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta$(часто пишется без явного символа продукта). Таким образом, очень окольным путем, это его определение. И он так же координатно-инвариантен, как и скалярный продукт$g$.

---

¹ Обратите внимание, что некоторые тексты попытаются использовать его, добавляя факторы$i$в различных местах, чтобы получить желаемые отрицательные знаки, когда два$i$умножить. Это плохая практика, и она с треском проваливается при переходе от SR к GR.

² Возможная путаница:$\mu$в этом абзаце просто индексируются разные координаты, а не компоненты векторов или двойственных векторов. Более того, стрелки и тильды были скрыты. Таким образом$\partial_\mu$является полным вектором для любого$\mu$, с компонентами$\partial_\mu^\alpha$проиндексировано$\alpha$. Сходным образом,$\mathrm{d}x^\mu$является двойственным вектором, и его компоненты в некотором понятном базисе были бы$\mathrm{d}x^\mu_\alpha$.