Is (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ справа)\фи=0 то же, что и ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

Я новичок, когда мы говорим об общей теории относительности, сейчас я читаю статью о гравитационных волнах, но мне нужна помощь. Пока я не узнаю уравнение, описывающее гравитационную волну,

( − ∂ 2 ∂ т 2 + ∇ 2 ) ф "=" 0 ,
где ф является скалярным полем. Это волновое уравнение в 3+1D, но в статье говорится, что уравнение, описывающее гравитационную волну, таково:

∂ мю ( г мю ν − г ∂ ν ф ) "=" 0.

Мой вопрос в том, что это одно и то же уравнение, не так ли? Является ли первое уравнение частным случаем второго уравнения? Если это так, то как мы можем получить первое из второго?

Второе уравнение представляет собой скалярное волновое уравнение в любой фоновой метрике. Первое уравнение является частным случаем второго применительно к плоскому метрическому фону.
Уравнения ОТО второго порядка, связанные и нелинейные, поэтому вам нужно решить их, рассматривая их как плоскую метрику. η мю в с возмущениями, это имеет какое-то значение для вас? en.wikipedia.org/wiki/Гравитационная_волна
Чему равно фи во втором уравнении? Имейте в виду, что уравнения общей теории относительности, даже если возмущения в плоском пространстве-времени являются тензорными, спин равен 2.

Ответы (1)

[ОТРЕДАКТИРОВАНО]

Почти. «Правильная» форма второго уравнения:

1 − г   ∂ мю ( − г   г мю ν ∂ ν   ф ) "=" 0

то есть

див   выпускник     ф "=" 0

если вы знакомы с операторами градиента и дивергенции в искривленном пространстве-времени, или

Δ   ф "=" 0
если вы знакомы с оператором Лапласа-Бельтрами в искривленном пространстве-времени. Конечно, первое проверяется тогда и только тогда, когда ∂ мю ( − г   г мю ν ∂ ν   ф ) "=" 0 , так что утверждение действительно верно. Волновое уравнение в плоском пространстве-времени действительно является частной формой приведенного выше уравнения в плоских координатах, которые таковы, что при Икс 0 "=" т , Икс я "=" Икс → ,

г 00 "=" − 1 г 0 я "=" 0 г я Дж "=" дельта я Дж
с я "=" 1 , 2 , 3 . Тогда у вас есть

г 00 "=" − 1 г 0 я "=" 0 г я Дж "=" дельта я Дж
и
дет г "=" − 1

и вы сами видите, что уравнение сводится к волновому уравнению.

Теперь, что касается гравитационных волн, они на самом деле не подчиняются волновому уравнению. Можно использовать так называемое «приближение слабого поля» (у вас есть метрика вида г "=" η + час , с η метрика Минковского и час небольшое возмущение η ) вместе со специальным выбором координат, чтобы получить уравнение, имеющее тот же вид, что и волновое уравнение. В этом случае неизвестная функция (функции) будет час мю ν , так что у вас есть

η о λ   ∂ о ∂ λ   час мю ν "=" ( − ∂ 2 ∂ т 2 + ∇ 2 )   час мю ν "=" 0

Но упомянутый специальный выбор координат приносит с собой некоторые дополнительные уравнения:

η мю о   ∂ мю час о ν "=" 0 η мю ν час мю ν "=" 0

То есть, час мю ν бездивергентна (первая) и бесследна (вторая). Обратите внимание, что, как я уже сказал, первые являются лишь приближением к полному уравнению, которое является нелинейным.

Разве внешний div не должен создавать ковариантную производную?
Да, это так. На самом деле он производит две ковариантные производные: выпускник   див "=" ∇ мю ∇ мю . (по функциям конечно)
Извините, все наоборот: див   выпускник
@SeanLake: да, ∇ а ∇ а ф "=" ∇ а ∂ а ф "=" г а б ∂ а ∂ б ф − г а б Г а б с ∂ с ф Осталось только вычислить эквивалентность − г а б Г а б с и 1 − г ∂ а ( г а с − г )
Is (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ справа)\фи=0 то же, что и ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v