Могут ли эти два термина сойтись?

Я почти уверен, что знаю ответ на этот вопрос, хотя этот вопрос дает очень мало контекста для того, что представляют собой различные тензоры, он дает пару выражений без включения важного окружающего уравнения для контекста и включает уравнение с опечаткой .

Во-первых, первое уравнение в его нынешнем виде имеет несбалансированные индексы. Я предполагаю, что первое уравнение на самом деле должно быть

$$\Gamma_{\mu\nu\lambda} = \eta_{ab}{J^a}_{\mu}{J^b}_{\nu\lambda}\ .$$

Хотя я не понимаю, что такое$J$, все, что имеет значение, что я правильно понимаю, это то, что$\eta_{ab}$— метрический тензор (предположительно метрика Минковского, поскольку$\eta$обычно используется для обозначения метрики Минковского, хотя латинские индексы вместо греческих индексов необычны).

Первое уравнение представляет собой тензор типа (0, 3) с обеих сторон, но${J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu$и${J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu$являются тензорами типа (2, 3), поэтому ясно, что они сжимаются с чем-то во всем уравнении, в котором они находятся. Учитывая форму правой части первого уравнения, я предполагаю, что выражение, в котором происходит сокращение, есть что-то нравиться

$$\eta_{ab}({J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu - {J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu + …)\ .$$

В этом контексте эти два члена могут сокращаться, но причина, по которой они сокращаются, заключается в том, что метрический тензор всегда симметричен. У нас есть

$$\eta_{ab}{J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu=\eta_{ba}{J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu=\eta_{ab}{J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu\ ,$$

где первый шаг — просто переименование индексов, а второй шаг связан с симметричностью метрического тензора. Так

$$\eta_{ab}({J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu - {J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu) = 0\ ,$$

независимо от того, что$J$обозначают.