Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Хотя эпоха преобладания излучения (RD) длиннее по сравнению с эпохой преобладания материи (MD) и$\Lambda$- доминирует ($\Lambda$D) эпохи, приятно иметь ответ, который можно легко адаптировать для любой космологической эпохи. Если мы предположим, что Вселенная пронизана идеальной жидкостью , мы можем использовать уравнение состояния

где$P$это давление и$\rho$плотность энергии. Два уравнения Фридмана (или сохранение тензора энергии-импульса$\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}=0$) дать нам

который можно решить для$\rho$с точки зрения масштабного фактора$a(t)$как

где$a_0$масштабный коэффициент сегодня (и мы установим$a_0 = 1$отныне) и$\rho_0$- полная плотность энергии Вселенной сегодня. Подставив это обратно в первое уравнение Фридмана, мы получим$a(t)$как

где$A$ужасная константа, которую я рассчитал как$A = (8 \pi G/3)^{1/3(1+w)}$и я предположил, что в какое-то «начальное время»$t_i = 0$, значение масштабного фактора было$a_i = 0$.

Теперь рассмотрим фотон. Как и в моем ответе здесь , фотон следует радиальной геодезической в ​​пространстве-времени FRW. В плоской Вселенной , как вы указали, мы имеем

для фотона. Мы можем определить происхождение$(0,0,0)$и оттуда отправить фотон в любую точку на радиальном расстоянии$r = x$. Вы указали$(x,0,0)$но поскольку Вселенная однородна и изотропна , любая такая точка даст тот же ответ. Используя элемент фотонной линии, это

Теперь воспользуемся выражением для$a(t)$с точки зрения$t$и$w$которые мы вывели ранее, вычисляем интегралы через$x$и$t$, и установите$T_1 = 0$чтобы мы могли видеть, что происходит, достигая

с ранее заявленной стоимостью$A$.

Эпоха РД ($w = 1/3$): подставив это значение$w$мы нашли

поэтому, учитывая бесконечное количество времени, мы можем послать сигнал в бесконечность.

Эпоха МД ($w = 0$): подставив это значение$w$мы нашли

так что снова мы можем послать сигнал в бесконечность, но это займет$O(x)$дольше, чем в эпоху РД. Это связано с тем, что Вселенная расширяется быстрее, т.к.$a(t) \propto t^{2/3}$скорее, чем$a(t) \propto t^{1/2}$в эпоху РД.

$\Lambda$Д эра ($w \rightarrow -1$): Для этого случая лучше написать$x$с точки зрения$a$, в этом случае получаем

Это означает, что по мере того, как Вселенная растет в режиме темной энергии, ее расширение ускоряется настолько, что область, над которой мы можем общаться, сжимается! Если мы отправим фотон сейчас, то максимальное расстояние, которое он сможет преодолеть за бесконечное время, будет больше, чем если бы мы отправили фотон завтра. Это явление сжимающейся сферы Хаббла , и это означает, что если во Вселенной по-прежнему будет преобладать темная энергия, как сейчас, то наблюдаемая Вселенная будет сжиматься до тех пор, пока мы не сможем видеть только ближайшие астрономические объекты.

В приближении геометрической оптики луч света представлен нулевой геодезической. Поэтому вам нужно только найти нулевую геодезическую точку соединения$(t_0,0,0,0)$и$(t_1,x,0,0)$для некоторых$t_1$(и это условие будет определять$t_1$однозначно). Это, вероятно, довольно легко сделать непосредственно в этом случае, но в целом для исследования нулевых кривых в конформном времени пространства-времени FLRW, определяемом формулой$\mathrm d \eta = \frac{\mathrm d T}{a(T)}$(с$a(T)=T^{1/2}$в вашем случае) особенно удобно.

Поэтому нужно рассчитать будущий световой конус

В сопутствующих координатах вы делите это на масштабный коэффициент времени поглощения

с H в качестве параметра Хаббла

c скорость света, t0 время испускания и t1 время поглощения.

Если пренебречь плотностью излучения, можно использовать

что немного упрощает уравнение и дает хорошие приближения, если вы не уходите слишком далеко назад во времени, но световой конус по-прежнему будет интегралом без явной обратной функции.

Это приводит к численному расчету без аналитического решения. Точное вычисление немного длинное, если принять во внимание материю, темную энергию и излучение, так что извините, что я не буду переводить все в латекс.

Если я возьму космологические параметры из миссии «Планк» и посчитаю, например, сколько времени потребуется фотону, чтобы добраться до расстояния, которое сейчас находится в 1 гигасветовом году, свету потребуется 1,036 гигасвета, чтобы добраться туда. Если сегодня расстояние составляет 10 гигасветовых лет, свету потребуется 15,736 гигасветовых лет, пока он не достигнет этой сопутствующей координаты:

Поскольку параметр Хаббла меняется со временем, он зависит не только от расстояния, но и от времени испускания фотона.

К сожалению, все это нужно решать численно, поэтому я не могу дать вам явное решение для$t_1(LC_{comoving})$, но, по крайней мере, я могу показать вам, как решить это решение с помощью компьютера.

Тем не менее, я надеюсь, что это поможет, если что-то неясно с кодом, не стесняйтесь спрашивать. Может быть, также полезно посмотреть диаграммы пространства-времени здесь и здесь .