Можем ли мы математически объяснить первый закон Ньютона?

Деймон пишет:

По сути, второй закон является математической формулировкой первого, f = ma, где f — неуравновешенная сила, действующая на другое тело.

На самом деле все наоборот: первый закон является частным случаем второго закона, где F = 0. Если на тело не действует никакая сила, его скорость не меняется.$F = 0 \rightarrow a = 0$

^{Примечание: если быть точным, то, что обычно называют вторым законом Ньютона, на самом деле является первым законом Эйлера .}

В дополнение к содержательному ответу Деймона Блевинса вам нужно указать, что такое инерционная система отсчета, чтобы вы могли измерить свое ускорение. Практический ответ: вы носите с собой акселерометр, и если он измеряет «ничего», то формулировка Дэймона хороша, а первый закон Ньютона состоит в том, что в отсутствие на него какой-либо чистой силы тело будет либо двигаться вместе с вами, либо двигаться со скоростью постоянная относительная скорость к вам.

Если у вас просто есть общая система координат, в которой вы нашли метрику$g$выполняя уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности, описывающие распределение массы во Вселенной вокруг вас, то первый закон Ньютона состоит в том, что в отсутствие какой-либо чистой силы любое тело должно следовать геодезической линии, определяемой:

где$s$- любой подходящий параметр, определяющий путь тела (часто собственное время) и$\Gamma$- коэффициент связи (символ Кристоффеля), полученный стандартным способом из метрики$g$:

Учитывая, что геодезическое уравнение имеет второй порядок, любая такая линия однозначно определяется положением тела в пространстве-времени и четырехкратной скоростью относительно системы координат в точке$t=0$.

По сути, эти уравнения определяют движение точечной массы, которая, как вы говорите, испытывает невесомость.

Первый закон — это просто утверждение о существовании промежуточных систем отсчета.

$\sum \mathbf{F} = 0\; \Leftrightarrow\; \frac{\mathrm{d} \mathbf{v} }{\mathrm{d}t} = 0.$

Это достаточно хорошо?

Вы пишете: «При постоянной скорости ускорение отсутствует. (f'(x)=v'=0=a). Если a=0, то F=ma=0, и, следовательно, на объект не действует никакая сила, поэтому объект будет продолжать двигаться. в том же направлении, если есть», что звучит так:

Если скорость постоянна, то ускорение равно нулю, а результирующая сила равна нулю (что использует второй закон и противоположно первому закону Ньютона, но пока все верно), но затем вы продолжаете и говорите, что объект продолжается с постоянной скоростью. Но это было ваше предположение, так что странно, что это тоже ваш вывод. Теперь, если вы хотели, чтобы первый закон Ньютона появился там, где вы говорите, что «никакая [суммарная] сила не действует на объект, поэтому объект будет продолжать двигаться в том же направлении», в этом суть первого закона. Но это не объяснение.

Первый закон является дополнением ко второму закону. Второй закон говорит, что$F=ma$, но, к сожалению$F=ma$не говорит нам, остаются ли покоящиеся объекты, на которые действует нулевая результирующая сила, покоящимися или начинают двигаться (см. «Неединственность в решениях уравнения движения Ньютона» Abhishek Dhar Am. J. Phys. 61, 58 (1993); http : //dx.doi.org/10.1119/1.17411 , чтобы увидеть решения F=ma, которые нарушают первый закон Ньютона).

Изменить : отредактировано, чтобы ответить на вопросы.

Чтобы ответить на ваш заглавный вопрос, первый закон нельзя вывести из других законов Ньютона, поэтому его нельзя объяснить в этом смысле. Если вам нужно математическое объяснение первого закона, вы можете написать:

Учитывая закон силы$F=F(x,v,t)$и любое из многих возможных решений$x=x(t)$такой, что$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$действует для всех$t$тогда собственная склонность тела сохранять постоянную скорость выбирает некоторые решения$x=x(t)$в пользу других решений. В частности, любое решение (т.е.$x=x(t)$такой, что$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$действует для всех$t$) который имеет$x(t)=x(t_0)+(t-t_0)v(t_0)$держаться за$t$в некотором интервале$[t_0,t_1]$(где$t_1 > t_0$, и$F(x(t_0),v(t_0),t_0)=0$) выбирается среди других решений (другие$x=x(t)$такой, что$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$действует для всех$t$).

Т.е. когда нет результирующей силы, собственная инерция тела настаивает на том, чтобы скорость оставалась постоянной, а не только на том, чтобы ускорение было равно нулю, как того требует F=ma.

Мы можем увидеть первый закон в действии, взглянув на пример, где он вступает в игру. Функция$x(t)=0$и функция$x(t)=(Kt)^3$оба имеют нулевое ускорение в$t=0$, только в первом скорость постоянна. Так$x(t)=0$имеет весь этот интервал$t$где скорость постоянна, тогда как$x(t)=(Kt)^3$не. Если они оба являются решениями$F=ma$, затем$F=ma$любит и то, и другое, но первый закон говорит, что собственная склонность тела к равномерному движению отдает предпочтение первому, а не второму. Обратите внимание, что функции$x(t)$как есть$x(0)=0$,$v(0)=0$,$a(0)=0$а только решение$x(0)=0$остается с постоянной скоростью, потому что постоянная скорость намного сильнее, чем просто изменение скорости достаточно медленно, чтобы$a=0$. Первый закон выбирает это решение для равномерного движения из многих, допускаемых вторым законом.

Теперь давайте посмотрим, что первый закон в действии. Рассмотрим скалярный потенциал$V=-Cx^{(4/3)}$, затем$F=ma$выбирает в качестве решений функции времени$x=x(t)$такой, что$ma=F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}$. Какие есть решения? Функция$x(t)=0$является решением, потому что$F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}=0=m0=ma$. Как насчет таких функций, как$x(t)=(Kt)^3$? У них есть$a(t)=K^36t$и$x^{(1/3)}=Kt$, поэтому нам нужно$m(K^36t)=ma=F=(4/3)Cx^{(1/3)}=(4/3)CKt$, которое имеет место, когда$K^2=\frac{2C}{9m}$. Таким образом, потенциал$-Cx^{(4/3)}$дает силовой закон, который имеет решение, где$x(t)=0$и другое решение, где$x(t)=(2C/9m)^{(3/2)}t^3$. У них обоих есть$x(0)=0$, они оба имеют$v(0)=0$, они оба удовлетворяют$F=ma$. Таким образом, они оба предсказываются вторым законом, если у нас нет первого закона. Но первый закон отмечает, что первый,$x(t)=0$остается с постоянной скоростью, когда не действует результирующая сила. Первый закон Ньютона говорит, что это происходит потому, что у тела есть собственная склонность выбирать это решение. Он дополняет второй закон, потому что второй закон не говорит, что тело должно сохранять постоянную скорость, а только то, что оно изменяет скорость так медленно, что$a=0$когда сила равна нулю. Решение$x(t)=(Kt)^3$пример, когда скорость никогда не бывает постоянной. Вместо этого скорость просто изменяется достаточно медленно при$t=0$позволять$a(0)=0$где чистая внешняя сила равна нулю.

Первый закон очень силен, он говорит вам, что когда вы видите, как тело меняет свое равномерное движение, вы должны искать внешнюю силу , и он говорит вам, что, когда его движение остается равномерным, вы ненужно искать внешние силы, что он может сделать это сам. Ньютон даже рассматривал вращения как равномерное движение. Это все о внешних сил против собственных сил тела. Например, когда тело вращается, оно сплющивается (расширяется вокруг частей, движущихся с более высокой тангенциальной скоростью), потому что это создает внутренние силы, обеспечивающие это равномерное вращение. Ньютон заметил бы, что Земля сплющена по всей середине, а не из-за внешней силы (примером внешней силы могут быть приливы с Луны, а они непостоянны). Земля сплющена по всей середине, так что тело Земли может проявлять свою собственную силу, чтобы поддерживать равномерное вращение. Все три закона работают вместе и что-то делают вместе с его системой мира.

Это ответ на вопрос заголовка.

Что касается следующего вопроса, применяется ли первый закон только в невесомости. Вы можете использовать его в любое время, когда нет чистой внешней силы, просто когда нет чистой внешней силы,$F=ma$допускает неравномерное движение. Первый закон гласит, что тело имеет свою собственную тенденцию к равномерному движению. Эта тенденция подавляется чистой внешней силой, поэтому в таких ситуациях используйте$F=ma$.

Это касается второго вопроса.

Что касается вашего последнего вопроса о том, объясняет ли то, что вы написали, первый закон математически, я ответил на него в начале поста. Ваши утверждения предполагают равномерное движение, а затем заключают, что есть равномерное движение, так что ваши утверждения абсолютно ничего не объясняют. Второй закон уже говорит нам, что, когда нет результирующей силы, вы должны изменять свою скорость достаточно медленно, чтобы получить$a=0$(например$x(t)=0$, или$x(t)=x(0)+v(0)t$или даже$x(t)=x(0)+v(0)t+(Kt)^3$, все три из которых достаточно медленно изменяют свои относительные скорости при$t=0$иметь$a(0)=0$). Первый закон говорит вам, что, когда результирующая сила равна нулю, тело имеет дополнительную тенденцию поддерживать свое равномерное движение, и это срабатывает и заставляет его фактически поддерживать равномерное движение, когда нет действующих внешних сил.

Первый закон Ньютона касается недавно (не древнегреческой) гипотезы о стремлении тел оставаться в равномерном движении. Это противоречило древнегреческим традициям. Первые два закона вместе дают нам больше информации, чем второй закон сам по себе. Таким образом, вы можете использовать первый закон, чтобы дополнить то, что говорит вам второй закон. Каждый закон можно использовать для чего-то.

Вы можете составить законы массы и силы. Третий закон движения говорит отвергнуть те законы силы, которые не сохраняют импульс. Второй закон гласит, что вы можете наблюдать истории перемещений$x(t)$, и по ним вычислить истории разгона$a(t)$и использовать их для сравнения$x(t)$к решениям$ma(t)=F(x(t),v(t),t)$, и таким образом отвергают законы силы. Первый закон гласит, что вы можете отвергнуть определенные решения$F=ma$, что прекрасно, так как в любом случае дает слишком много решений.

Первый закон на 100% ограничивает решения второго закона и поэтому служит дополнением. В нем также говорится, почему, и что это естественная тенденция тела оставаться в равномерном движении, которая заставляет его оставаться в равномерном движении, когда не подвергается никакой внешней силе.

По сути, второй закон является математической формулировкой первого закона.$F=ma,$ $F$неуравновешенная сила, действующая на другое тело.

На него уже ответили, но я добавлю еще несколько моментов.

Чтобы математически сформулировать Первый закон , нам нужно сначала сформулировать Второй закон .

Второй закон Ньютона :
сила, вызывающая ускорение, пропорциональна скорости изменения импульса во времени и действует в направлении изменения.

Сейчас,$k$, по определению$1\ \text{Newton}$, является$1$ $(1\ N = 1\ ms^{-2})$.
$\therefore\ F=ma$

Сейчас если$F=0$, Или$a$или$m$или оба должны быть равны нулю. Мы знаем$m$отличен от нуля, поэтому$a=0$. Это означает

Первый закон Ньютона :
Объект в состоянии покоя остается в покое, а объект в движении остается в движении с той же скоростью и в том же направлении, если на него не действует неуравновешенная сила.