Может ли электрический заряд черной дыры нейтрализовать ее гравитационное притяжение?

Метрика.

Заряженная черная дыра следует метрике Рейсснера – Нордстрема , которая имеет вид:

$$c^2 d\tau^2 = \left(1 - \frac{r}{r_s} + \frac{r^2}{r_Q^2}\right) c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{r}{r_s} + \frac{r^2}{r_Q^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

Где:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad\quad r_Q^2 = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0 c^4}$$

Обратите внимание, если заряд равен нулю$Q=0$, тогда$r_Q = 0$, и мы вернулись к метрике Шварцшильда , обычной метрике для черных дыр. Для каждого обсуждения, которое мы собираемся провести, не стесняйтесь устанавливать$r_Q = 0$, чтобы визуализировать, что произойдет с «нормальной» черной дырой.

Просто чтобы мы знали, о чем мы говорим, я лучше объясню концепцию метрики. Он измеряет пространственно-временное расстояние или собственное время.$d\tau$, между двумя событиями, очень близкими друг к другу. Событие — это точка пространства-времени.$(t,x,y,z)$, или, в сферических координатах,$(t, r, \theta, \phi)$.

Например, если события разделены$dt = t' - t$а также$dr = r' - r$и так далее, разница в пространстве-времени определяется приведенной выше формулой. Конечно,$r'-r$должно быть довольно мало, чтобы это работало, и формула точна для бесконечно малых расстояний.

Горизонт.

Проблема в том, что$dr$срок. Посмотри на это! Термин, который умножается$dr^2$в метрике что-то:$(\cdot)^{-1}$. Есть мощность -1. Другими словами, в знаменателе:$1/(\cdot)$. Что произойдет, если знаменатель равен нулю? Тогда это означает, что на бесконечно малом расстоянии$dr$, у нас потенциально бесконечное пространственно-временное расстояние$d\tau$. Ты понял? Да! Вы делаете! Здесь мы говорим о горизонте событий. Горизонт, где события недоступны, так как требуется бесконечное количество времени, чтобы их увидеть.

Итак, давайте сделаем это! Обнулим его и найдем горизонт. В незаряженном случае$Q = 0$,$r_Q = 0$, у нас есть:

$$1 - \frac{r}{r_s} = 0 \quad\implies\quad r = r_s$$

Таким образом, горизонт событий черной дыры представляет собой сферическую поверхность с радиусом, равным радиусу Шварцшильда,$r_s$.

К счастью для нас, для заряженного случая это просто квадратичная формула:

$$1 - \frac{r}{r_s} + \frac{r^2}{r_Q^2} = 0 \quad\implies\quad r_{\pm} = \frac{1}{2}\left(r_s \pm\sqrt{r_s^2 - 4r_Q^2}\right)$$

Имейте в виду, что чем больше заряд$Q$, тем больше длина$r_Q$является. Мы можем проанализировать дискриминант$\Delta$.

• Если$r_s > 2r_Q$: Просто немного заряда. В этом случае дискриминант положительный,$\Delta > 0$. Есть два горизонта. Обычный горизонт событий$r_+$, и внутренний горизонт, называемый горизонтом Коши$r_-$.

• Если$r_s = 2r_Q$: определенная сумма заряда. В этом случае дискриминант равен нулю,$\Delta = 0$, и оба горизонта встречаются:$r_+ = r_- = \frac{1}{2}r_s$. Эта черная дыра называется экстремальной черной дырой .

• Если$r_s < 2r_Q$: Много заряда. В этом случае горизонтов больше нет, т.к.$\Delta < 0$. У этого квадратного уравнения нет реальных решений. Это означает, что это больше не черная дыра.

Силы.

Соотношение гравитационной и электрической сил:

$$\frac{F_m}{F_q} = \frac{GMm}{r^2}\frac{4\pi\epsilon_0 r^2}{Qq} = 4\pi G\epsilon_0\frac{M}{Q}\frac{m}{q} = 4\pi G\epsilon_0\left(\frac{r_s c^2}{2G}\sqrt{\frac{G}{4\pi\epsilon_0 c^4 r_q^2}}\right)\frac{m}{q}$$

Таким образом:

$$\frac{F_m}{F_q} = \frac{1}{2}\frac{m}{q}\frac{r_s}{r_Q}\sqrt{4\pi\epsilon_0 G}$$

Где$\sqrt{4\pi\epsilon_0 G}\approx 8.61\cdot 10^{-11} C/Kg$. Как обычно,$m/q\ll 1$, например, для электрона$m/e\approx 5.68\cdot 10^{-12} Kg/C$. И, предполагая экстремальную черную дыру,$r_s/r_q = 2$, тогда мы имеем$F_m/F_q\ll 1$. Итак, электростатические силы намного больше, чем силы гравитации.

Конечно, это наивный расчет. Чтобы получить реальную картину, мне нужно рассчитать эффективный потенциал этой черной дыры, чтобы выяснить, каковы условия для того, чтобы одинаковый заряд проник в черную дыру и увеличил ее заряд.

Эффективный потенциал.

Для этого нам нужны уравнения движения, а значит, нужно вычислить экстремум действия.

$$S = \int Ld\tau = \int g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu = \int\left[-A(r)c^r\dot t^2 + A(r)^{-1}\dot r^2 + r^2\left(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\dot\phi^2\right)\right] d\tau$$

Где здесь это считалось$A(r) = 1 - \frac{r}{r_s} + \frac{r}{r_Q^2}$. На самом деле это не совсем действие (мы пропустили квадратный корень), но можно показать, что экстремум реального действия совпадает с экстремумом этого действия$S$с которыми мы работаем. Итак, мы хороши, если наша цель состоит в том, чтобы найти величины, зависящие только от экстремума действия, например, уравнение движения. Подынтегральную функцию можно рассматривать как лагранжиан, поэтому мы можем подставить ее в уравнения Эйлера-Лагранжа и выяснить все, что нам нужно. Расчеты несложные, но я их опускаю. Проделав все это, мы получаем окончательный ответ:

$$\frac{1}{2}\dot r^2 + \frac{1}{2}A(r)\left(\frac{\ell^2}{r^2} + c^2\right) = \frac{1}{2}\frac{E}{c^2}$$

Где сохраняются количества$\ell$а также$E$взято из$\theta$а также$t$Уравнения Эйлера-Лагранжа в точности представляют собой угловой момент и энергию системы. Мы можем сравнить приведенное выше уравнение с классическими уравнениями движения и, таким образом, мы можем определить эффективный потенциал из среднего члена$\frac{1}{2}A(r)\left(\frac{\ell^2}{r^2} + c^2\right)$. Таким образом, подключение для$A(r)$, мы наконец имеем это:

$$V_{eff}(r) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2}\right)\left(\frac{\ell^2}{r^2} + c^2\right)$$

Подключение$r_s$а также$r_Q$, и, расширяя, получаем:

$$V_{eff}(r) = \frac{c^2}{2} + \frac{\ell^2}{2r^2} - \frac{GM}{r} - \frac{GM\ell^2}{r^3 c^2} + \frac{GQ^2}{8\pi\epsilon_0 c^2 r^2} + \frac{GQ^2\ell^2}{8\pi\epsilon_0 r^4 c^4}$$

Глядя на это, мы можем определить несколько терминов, которые должны были бы появиться в ньютоновской теории, и несколько других новых терминов, которые существуют потому, что это общая теория относительности. Кроме того, это не точно, так как нам все равно пришлось бы вводить электростатический потенциал специальным образом, потому что мы не включили электростатический вклад непосредственно в действие (это еще больше усложнило бы действие, так как мне пришлось бы включить 4-потенциальные члены в действии типа$q A_\mu\dot x^\mu$а, мне лень, ладно?!).

Отсюда все, что мы делаем, - это вычисляем максимум и минимум потенциала, чтобы выяснить, каков энергетический барьер частицы с угловым моментом.$\ell$необходимо будет преодолеть, чтобы попасть внутрь заряженной черной дыры. И таким образом, если мы поместим частицу с большей энергией, она пройдет. Другими словами, мы должны вычислить производную и приравнять ее к нулю, т. е.$V'(r) = 0$. Я разумно остановлюсь здесь, потому что я ленив , потому что поиск потенциального максимума/минимума здесь потребует решения многочлена третьей степени.

Впрочем, вы могли бы, если хотите, начертить$V_{eff}$, чтобы посмотреть, как он себя ведет. Или, если вы хотите решить эту проблему, продолжайте.

---

Давайте теперь ответим на ваши вопросы.

Можно ли создать такой объект?

Ну что ж. Я не вижу никаких возражений GR против создания такого объекта. Итак, если вы спрашиваете, можно ли его создать? да. Наверное. Может быть.

Однако, если вы спросите: существует ли такой объект? Навряд ли. Маловероятно. Очень-очень маловероятно. Нет, это не так! Без внешнего вмешательства природа стремится довольно быстро нейтрализовать заряд.

---

Если бы такой объект существовал, разве электростатическая сила сделала бы невозможным увеличение массы дыры?

Возможно нет. Хотя это было бы трудно. Как мы сделали,$F_m/F_q\ll 1$, поэтому преобладают электростатические силы. Как я уже говорил, без внешнего вмешательства природа склонна довольно быстро нейтрализовать заряд.

Хотя я этого и не доказал, подозреваю, что частица с достаточной энергией сможет преодолеть электростатический потенциальный барьер и перебраться через него. Таким образом, не невозможно.

---

[...] учитывая, что масса за горизонтом событий исчезла навсегда, а это означает, что электростатическая сила не имеет значения за горизонтом событий.

Вы можете предположить, что да. Но на самом деле так не бывает. Черные дыры испаряются из-за излучения Хокинга.

---

Даже если бы такой заряд черной дыры нормально разорвал массу на части, горизонт событий делает это невозможным.

Даже если предположить, что черные дыры не испаряются...

Какой горизонт? Его больше нет! Как мы показали, если заряда слишком много,$2r_Q > r_s$, у такого объекта уже не было бы горизонта. Итак, зарядка бесплатна для бегаееееееее.

Ответ Physicist137 - наиболее математически правильный способ справиться с этим, но я хотел бы обойти ОТО, потому что нет необходимости отвечать на ваш главный вопрос. Конкретно эта часть:

Можно ли создать такой объект?

Ответ — нет, не из каких-либо частиц, о которых мы знаем, по очень простой причине.

Как вы говорите в своем вопросе, вам нужно иметь больше заряда, чем массы, поэтому давайте построим нашу черную дыру из частицы с лучшим соотношением заряда к массе во Вселенной: электрона. Давайте запустим кучу электронов в крошечное пространство, пока они не схлопнутся в черную дыру. Ничто в фундаментальной физике (насколько мне известно) не мешает нам это сделать; таким образом мы действительно создадим черную дыру.

Однако даже эта черная дыра с оптимальным отношением заряда к массе все равно не будет иметь достаточного заряда, чтобы нейтрализовать ее гравитационное притяжение (она не будет экстремальной ). Проблема в том, что отталкивание электронов создает потенциальную энергию, а в теории относительности энергия действует как масса ($E = mc^2$). То есть плотность энергии искривляет пространство-время и вызывает гравитационное притяжение, как и плотность массы. И, как показывает этот простой расчет , этой энергии вполне достаточно, чтобы перевесить заряд. Даже эта полностью электронно-отрицательно заряженная черная дыра по-прежнему будет притягивать отрицательно заряженные частицы, и отношение ее заряда к массе будет уменьшаться с каждой добавленной частицей!

Таким образом, вы не можете получить экстремальную или суперэкстремальную черную дыру, построив ее из каких-либо известных нам частиц. Тем не менее, если во Вселенной уже был один из них (либо он существовал с самого начала, либо сформировался в результате какого-то физического процесса, который мы пока не можем объяснить), тогда вам понадобится общая теория относительности, чтобы описать, как это работает. На это я отложу ответ Physicist137.

Затем, поскольку атомы водорода теперь являются ионами H+, они отталкивают эту черную дыру с большей силой, чем обеспечивает гравитация, что делает облако H+ недопустимым для массы черной дыры.

Вы упускаете здесь ключевой момент: облако H+ будет улетать от себя, потому что одинаково заряженные частицы отталкиваются друг от друга, и они будут гораздо ближе друг к другу, чем к черной дыре, и их ничто не удержит. вместе.

И как только они будут разделены, черная дыра покорит их.