На логарифмическом графике отношения силы тяжести на поверхности к массе планеты, что означает точка пересечения с осью y?

Я думаю, то, что вы установили здесь, это как раз то, что$\rho$имеет тенденцию к увеличению с массой. Плотность планет непостоянна.

Позволять$\rho = \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$, так что$M = (4/3)\pi R^{3} \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$

Затем

$$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi G}{3} R \rho$$

Заменять$R$с$(3M/4\pi \rho)^{1/3}$так что

$$g = \frac{4\pi G}{3} \left(\frac{3M}{4\pi \rho}\right)^{1/3} \rho$$ $$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} G M^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{2\alpha/3}$$ $$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{(2\alpha+1)/3}$$

Таким образом, за исключением (весьма возможной) алгебраической оговорки, если вы рисуете$\log g$против$\log M$, градиент$(2\alpha+1)/3$, который из вашего сюжета дает$\alpha \simeq 0.92$- т.е. средняя плотность планеты увеличивается почти линейно с массой.

Тогда перехват

$$b = \log \left[ \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3}\right],$$ что дает $\rho_0 \simeq 3.5$кг/м $^3$(NB: я вычла 2 из вашего $b$сделать это СИ; давая плотность около 814 кг/м $^3$при массе Юпитера).

Тот факт, что плотность почти пропорциональна массе, можно найти из того же набора данных. например см. ниже. Ниже 0,1 массы Юпитера связь, по-видимому, нарушается, хотя на самом деле очень немногие из плотностей таких планет измерены очень точно (поскольку для этого требуется радиус от транзита), но это работает достаточно хорошо в диапазоне, который вы начертили. . Физика здесь заключается в том, что газовые гиганты управляются частично (электронно) вырожденным уравнением состояния, в результате чего все они имеют одинаковый радиус от примерно одной десятой массы Юпитера до примерно 50 масс Юпитера (хотя и со значительным и в значительной степени необъяснимым разбросом) . Таким образом, плотность пропорциональна массе. Это соотношение не работает для небольших каменистых планет, у которых радиус уменьшается для меньших масс.

Для планет с постоянной средней плотностью у вас есть:

$$M=\rho \times 4\pi r^3$$ и поверхностное значение $g$является: $$g(r)=\frac{GM}{r^2}=G \times \rho\times 4 \pi \times r$$ Таким образом, для тел постоянной плотности сила тяжести на поверхности пропорциональна радиусу, а наклон как $r \to 0$говорит вам плотность. Так, для тел одинаковой плотности $\log(g(r)) \to -\infty$в качестве $r \to 0$

По массе:

$$g(M)={G(4\pi \rho)^{2/3}M^{1/3}}$$ Таким образом $M\to 0$у нас есть $g(M)\to 0$и снова $\log(g(M))\to -\infty$и перехват $\log-\log$сюжет как $M$стремится к нулю, позволяет рассчитать среднюю плотность.