Нахождение коэффициентов связи Кристоффеля с 3 сферами с использованием вариационного исчисления, задача Шона Кэррола

Question

Нахождение коэффициентов связи Кристоффеля с 3 сферами с использованием вариационного исчисления, задача Шона Кэррола

Кевин Мюррей

У меня есть 3-сфера с координатами $x^{\mu} = (\psi,\theta,\phi)$ и следующий показатель:

д с^{2} знак равно д ψ^{2} + {грех}^{2} ψ (д θ^{2} + {грех}^{2} θ д ф^{2})

$\begin{equation} ds^2 = d\psi^2 + \text{sin}^2\psi(d\theta^2 + \text{sin}^2\theta d\phi^2) \end{equation}$

Я знаю, как получить коэффициенты связи, используя метрические производные и т. д., но я ищу способ сделать это с помощью вариационного исчисления. Задача Шона Кэрролла (упражнения 3.11, вопрос 8 а) Введение в общую теорию относительности предложила изменить следующий интеграл, чтобы найти коэффициенты связи:

я знак равно \frac{1}{2} \int {грамм}_{мю ν} \frac{д {Икс}^{мю}}{д т} \frac{д {Икс}^{в}}{д т} д т

$\begin{equation} I = \frac{1}{2}\int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{v}}{d\tau} d\tau \end{equation}$

Итак, у меня есть лагранжиан:

л знак равно {\dot{ψ}}^{2} + ({грех}^{2} ψ) {\dot{θ}}^{2} + ({грех}^{2} ψ) ({грех}^{2} θ) {\dot{ф}}^{2}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \dot{\psi}^2 + (\text{sin}^2\psi) \dot{\theta}^2 + (\text{sin}^2\psi)(\text{sin}^2\theta)\dot{\phi}^2 \end{equation}$

Которое я подставил в уравнение Эйлера-Лагранжа:

\frac{\partial}{\partial т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}}) - \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} знак равно 0

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} = 0 \end{equation}$

Я на правильном пути здесь? Какова стратегия соотнесения этого с символами соединения? Литература не слишком ясна, и я изо всех сил пытаюсь установить связь.

Ответы (2)

Нахождение коэффициентов связи Кристоффеля с 3 сферами с использованием вариационного исчисления, задача Шона Кэррола

Джерри Ширмер · Answer 1

Я покажу вам, как это сделать для 2-плоскости в полярных координатах. Как только вы разберетесь с этим, это должно быть выполнимо для вашего случая.

Вы начинаете с метрики

д с^{2} знак равно д р^{2} + р^{2} д θ^{2}

$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2}$

Поскольку геодезические этой метрики (т. е. прямые линии) минимизируют расстояние, мы знаем, что геодезические являются экстремумом:

я знак равно \frac{1}{2} \int д с ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{θ}}^{2})

$I = \frac{1}{2}\int ds \left({\dot r}^{2} + r^{2}{\dot \theta}^{2}\right)$

Возьмем вариант этого и получим

дельта я знак равно \int д с (\dot{р} дельта \dot{р} + р {\dot{θ}}^{2} дельта р + р^{2} \dot{θ} дельта \dot{θ})

$\delta I = \int ds \left({\dot r}\delta {\dot r} + r{\dot \theta}^{2} \delta r + r^{2}{\dot \theta} \delta{\dot \theta}\right)$

В соответствии с нашей обычной процедурой мы хотим варьировать исходные переменные, а не их производную по времени. Пренебрегаем также вариацией на границе и считаем, что $\delta {\dot x} = \frac{d}{ds}\delta x$ . Итак, интегрируем по частям, и получаем:

дельта я знак равно \int д с ((- \ddot{р} + р {\dot{θ}}^{2}) дельта р + (- \ddot{θ} р^{2} - 2 р \dot{р} \dot{θ}) дельта θ)

$\delta I = \int ds\left(\left(-{\ddot r} + r{\dot \theta}^{2}\right)\delta r + \left(-{\ddot\theta}r^{2} - 2r{\dot r}{\dot\theta}\right)\delta \theta\right)$

Поскольку геодезическая должна быть равна нулю независимо от вариаций $\delta r$ и $\delta \theta$ , мы знаем, что члены в скобках должны быть независимо равны нулю, и мы получаем:

\begin{aligned} 0 & знак равно \ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} \\ 0 & знак равно \ddot{θ} + \frac{1}{р} (\dot{р} \dot{θ} + \dot{θ} \dot{р}) \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= {\ddot r} - r{\dot \theta}^{2}\\ 0 &= {\ddot \theta} + \frac{1}{r}\left({\dot r}{\dot \theta} + {\dot \theta}{\dot r}\right) \end{align}$

Теперь у нас есть это как система уравнений, и мы помним, что геодезическое уравнение в терминах символов Кристоффеля имеет вид $0={\ddot x}^{a} + \Gamma_{bc}{}^{a}{\dot x}^{b}{\dot x}^{c}$ , и делаем вывод, что $\Gamma_{\theta \theta}{}^{r} = -r$ , $\Gamma_{r\theta}{}^{\theta} = \Gamma_{\theta r}{}^{\theta} = \frac{1}{r}$ , а все остальные равны нулю.

Большое спасибо, это очень помогло. Я запутался в переменной интегрирования (по ошибке принял ее за время, а потом запутался, что у меня нет времени в качестве координаты) и не понял, что могу связать ее с аффинным параметром в уравнении геодезии.
@KevinMurray: нет проблем! Кроме того, в качестве бонуса, который я хотел включить выше и забыл, обратите внимание, что все вариации относительно $\theta$ происходит из-за вариации относительно $\dot \theta$ . Поэтому при интеграции с частями должно быть понятно, что $\frac{d}{ds}\left(r^{2}{\dot \theta}\right) = 0$ , что обозначает $r^{2}{\dot \theta} = C$ для некоторого постоянного значения $C$ на вашей геодезической. Это связано с тем, что $\partial_{\theta}$ является убивающим вектором 2-плоскости. Этот трюк может значительно ускорить решение задачи геодезических расчетов.

Кайл Канос · Answer 2

Стратегия состоит в том, чтобы вспомнить уравнение геодезической ,

\begin{matrix} (1) & \frac{д^{2} {Икс}^{λ}}{д т^{2}} + Г_{мю ν}^{λ} \frac{д {Икс}^{мю}}{д т} \frac{д {Икс}^{ν}}{д т} знак равно 0 \end{matrix}

$\frac{d^2x^\lambda}{dt^2}+\Gamma^\lambda_{\,\mu\nu}\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx^\nu}{dt}=0\tag{1}$

Из вашего лагранжиана вы получите уравнения вида

\begin{aligned} \ddot{ψ} & знак равно ф (ψ, θ, ф, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ф}) \\ \ddot{θ} & знак равно грамм (ψ, θ, ф, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ф}) \\ \ddot{ф} & знак равно час (ψ, θ, ф, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ф}) \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{\psi}&=f(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\theta}&=g(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\phi}&=h(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \end{align}$ к которому вы относитесь (1) индекс за индексом.

Нахождение коэффициентов связи Кристоффеля с 3 сферами с использованием вариационного исчисления, задача Шона Кэррола

Кевин Мюррей

Ответы (2)

Джерри Ширмер

Кевин Мюррей

Джерри Ширмер

Кайл Канос

Стэн Шанпайк

Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Уравнения геодезических по вариационному принципу

Геодезическое уравнение Эйлера - Лагранжа

Упражнение по уравнениям Лагранжа-Эйлера

Можно ли рассматривать лагранжиан как метрику?

Геодезическое уравнение из вариации: эквивалентен ли квадрат лагранжиана?

От уравнения Эйлера-Лагранжа к неаффинному геодезическому уравнению

Сформируйте метрический тензор из кинетической энергии

Геодезические из вариационного принципа по координате?

Нулевая геодезическая заданная метрика