Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Мне дали следующую метрику для сферы

$$g_{\mu\nu} = diag(1, r^2, r^2\sin^2\theta)$$

и получил задание рассчитать символы Кристоффеля. Я знаю 2 способа их расчета. Один из уравнения

$$2\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} = g^{\alpha\rho}(g_{\alpha\rho,~\beta} + g_{\beta\rho,~\alpha} -g_{\alpha\beta,~\rho})$$

а другой путь из лагранжиана$L$.

Что меня озадачивает: для 1-го метода, скажем, хочу ли я вычислить$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$, я просто получаю

$$2\Gamma^{r}_{\theta\theta} = g^{rr}(g_{r\theta,~\theta} + g_{\theta r,~\theta} -g_{\theta\theta,~r})$$

и с выживанием только последнего срока я получаю$\Gamma^{r}_{\theta\theta} = -r$. Также,$\Gamma^{r}_{\phi\phi} = -r\sin^2\theta$

Для 2-го метода у меня есть$L = g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2$, и по уравнению Эйлера-Лагранжа получаю для радиальной составляющей

$$2\ddot{r} - (2r\dot{\theta}^2 + 2r\sin^2\theta\dot{\phi}^2) = 0$$

и вот где я не понимаю. Я должен сравнить коэффициенты с уравнением

$$\ddot{r} + \Gamma^{r}_{\theta\theta}\dot{\theta}^2 = 0$$

извлекать$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$но есть это$2r\sin^2\theta\dot{\phi}^2$термин, который мешает мне провести прямое сравнение. Даже если я предполагаю, что уравнение на самом деле может быть комбинацией двух уравнений, а именно,

$$a\ddot{r} + 2\Gamma^{r}_{\theta\theta}\dot{\theta}^2 = 0$$

и

$$(2-a)\ddot{r} + 2\Gamma^{r}_{\phi\phi}\dot{\phi}^2 = 0$$

где$a$является некоторой константой. Единственный способ получить правильный$\Gamma^{r}_{\theta\theta}$для$a=2$. В этом случае я не смогу восстановить$\Gamma^{r}_{\phi\phi}$. Любые подсказки?