Насколько серьезно мы можем относиться к успеху Стандартной модели, когда у нее так много входных параметров?

Неверно думать, что вся стандартная модель физики элементарных частиц была определена экспериментально. Это далеко не так. В большинстве случаев теоретические предсказания физики элементарных частиц позже подтверждались экспериментально и довольно часто с очень высокой точностью.

Например, физики-теоретики предсказали существование$W^\pm$и$Z$бозоны и их массы, бозон Хиггса, существование глюонов и многие их свойства еще до того, как эти частицы были обнаружены. Паули постулировал существование нейтрино для объяснения сохранения энергии при бета-распаде до того, как нейтрино было обнаружено. Аномальный магнитный момент электрона, значение которого было предсказано Юлианом Швингером, согласуется с экспериментом до 3-х частей в$10^{13}$. Нарушение четности в слабом взаимодействии, предсказанное Ли и Янгом, позднее было подтверждено экспериментально. Предсказание позитрона Дираком было обнаружено четыре года спустя Андерсоном.

Список можно продолжать, и список огромен$^1$. Физика элементарных частиц, возможно, является самой успешной физической теорией, потому что снова и снова ее предсказания позже подтверждались экспериментом с удивительно высокой точностью (хотя иногда наши теории нуждались в улучшении, чтобы объяснить некоторые детали экспериментальных данных). Я могу быть предвзятым, исходя из теоретического фона физики элементарных частиц, но я всегда соглашался с тем, что Стандартная модель — самая математически красивая, глубокая и глубокая модель из всей физики. Это отражено в его почти чудесной точной предсказательной силе.

$^1$Еще несколько важных моментов:
1935 Хидэки Юкава предложил сильное взаимодействие для объяснения взаимодействий между нуклонами .
1947 Ганс Бете впервые использует перенормировку.
1960 Йоичиро Намбу предлагает SSB (нарушение киральной симметрии) в сильном взаимодействии.
1964 Питер Хиггс и Франсуа Энглер предлагают механизм Хиггса.
1964 г. Мюррей Гелл-Манн и Джордж Цвейг заложили основу кварковой модели.
1967 Стивен Вайнберг и Абдус Салам предлагают электрослабое взаимодействие/объединение.

Стандартная модель может иметь много параметров, но она также говорит о многих вещах, каждый из которых обычно включает очень ограниченное количество параметров. Например , время жизни мюона$^\dagger$

$^\dagger$Я уверен, что кто-то будет возражать против моей формулы для$\tau_\mu$имеет время на левой стороне и обратную массу на правой стороне, использует натуральные единицы и должен читаться

На сегодняшний день, 24 сентября 2021 г., БАК выпустил 2852 публикации. Допустим, в каждой публикации по 5 сюжетов. Каждый участок имеет 50 очков. Мы округлим это число до 1 000 000 точек данных вместе со сравнением с теорией.

Какую часть данных по физике элементарных частиц составляет БАК? 1%? Я не знаю. Физика элементарных частиц началась в 1908 году с открытия Резерфорда.$^{197}{\rm Au}(\alpha,\alpha)^{197}{\rm Au}$эксперимент. Допустим, LHC — это 0,1% всех данных.

Это означает, что 1 миллиард точек данных объясняется с помощью$N$свободные параметры. Я помню$N=37$, но, возможно, он изменился. Википедия говорит$N=19$. Я не знаю об этом.

В любом случае, количество данных на несколько порядков энергии, включающих все известные формы материи, в ЭМ, слабом и сильном секторах, объясняемых таким небольшим количеством параметров, является экстраординарным.

Несмотря на темные дела .

Вопрос, в конечном счете, не в физике, а в статистике. Недаром физика элементарных частиц остается одной из немногих областей физики, где статистика все еще практикуется на высоком уровне (во многих других областях высокая точность измерений сводила потребность в статистическом анализе к вычислению стандартных отклонений). В частности, глава о статистике в PRD представляет собой отличный ускоренный курс по статистическому анализу. 

Сколько параметров много? 

В физике мы привыкли к моделям, где количество параметров можно пересчитать по пальцам, потому что мы стремимся понять элементарные взаимодействия/процессы/и т.д. Описание любых явлений реального мира обязательно приводит к объединению многих элементов и использованию большего количества параметров. Модели, используемые в технике, например, при проектировании самолетов или в государственном планировании, содержат сотни и тысячи параметров. Большие перспективы машинного обучения связаны с современными вычислительными возможностями для использования моделей с миллионами параметров, часто имеющих очень неясное значение (для людей), но они по-прежнему работают очень хорошо, как мы видим по тегам Facebook или растущему качеству Google. переводить.

Сколько данных? 

Будет ли у нас слишком много параметров, зависит от того, сколько у нас данных. Эмпирическое правило состоит в том, что у нас больше точек данных, чем у нас есть параметров. Однако более принципиальные подходы строятся вокруг вероятности , то есть вероятности наблюдения данных при заданных нами значениях параметров:

Теперь, если наша модель хороша, вероятность будет увеличиваться по мере увеличения количества данных (количества точек данных) — хотя это увеличение не является строго монотонным из-за случайных эффектов. Если этого не происходит, наша модель не годится — возможно, она слишком упрощена, имеет слишком мало параметров — это называется недообучением .

Сравнение моделей 

Учитывая большое количество данных, модель с большим количеством параметров, как правило, приводит к более высокой вероятности - именно в этом заключается проблема, поднятая в ОП. Попутно замечу, что мы никогда не можем доказать или опровергнуть модель саму по себе — мы скорее сравниваем разные модели и выбираем лучшую. Модель с большим количеством параметров может быть просто лучше, потому что она лучше аппроксимирует физическую реальность. Но такая модель может привести к более высокой вероятности просто потому, что у нас есть больше параметров для настройки — это то, что мы называем переоснащением .

Разработаны методы корректировки количества параметров при корректировке модели. Одним из наиболее известных является информационный критерий Акаике (AIC), где сравниваются величины

где$k_M$это количество параметров un model$M$. Тогда модель с наименьшим значением AIC считается той, которая достигает наилучших результатов с наименьшим количеством параметров.

Чтобы этот простой критерий не показался слишком интуитивным, позвольте мне указать, что для его строгого обоснования требуется совсем немного математики. Существуют также более сложные версии, а также альтернативные критерии, такие как байесовский информационный критерий (где$k_M$заменяется его логарифмом). 

Вот как в двух словах происходит выбор лучшей модели. Физика вмешивается в формулировку логически мотивированных моделей на выбор. Подозреваю, что если мы посмотрим на публикации того времени, когда была сформулирована Стандартная модель, то альтернативных предложений было немало, а в дискуссиях среди ученых, наверное, еще больше. Но прелесть физики в том, что она позволяет значительно сузить выбор моделей — как альтернативу подходам машинного обучения, где все возможные модели равны, а выбор основывается исключительно на их совместимости с данными.

Если у вас есть$n$входные параметры в детерминистской теории, которые вы можете идеально подогнать не более чем$n$точки данных, просто регулируя эти параметры. В вероятностной теории это более тонко, но есть аналогичная ассоциация. Независимо от того, сколько параметров требуется стандартной модели, это намного меньше, чем необходимо для обработки 1 петабайта данных, собираемых на БАК в секунду.

Мы должны серьезно относиться к стандартной модели, потому что она обладает исключительной предсказательной силой.

Мне кажется, что сосредоточение внимания на многих параметрах, вводимых вручную в Стандартной модели, упускает из виду лес за деревьями. Нет никаких требований, чтобы законы природы соответствовали нашим представлениям о том, как должна выглядеть теория. Конечным арбитром теории является то, делает ли она проверяемые предсказания. Поскольку Стандартная модель так хороша в этом, мы должны отнестись к ней серьезно.

30 с лишним параметров невелики по сравнению с 30 тысячами или даже 30 миллионами. Конечно, физики хотели бы сократить количество параметров до одного или вообще до нуля. Тем не менее, мы можем относиться к нему серьезно из-за его экспериментального успеха. Более элегантный с математической точки зрения вывод стандартной модели основан на некоммутативной геометрии. Это дает полную модель, включающую смешивание нейтрино в естественной геометрической форме, даже если она некоммутативна.