Непостоянное натяжение каната

Представьте груз, висящий на вертикальной веревке:

• Нижняя частица несет нагрузку.
• Следующая частица несет эту частицу плюс груз.
• Следующая-следующая частица несет обе нижние частицы плюс нагрузку.
• В общем, частица несет все частицы, находящиеся под ней, плюс груз.

Ясно, что верхняя частица несет больше всего, тогда как нижняя частица несет меньше всего.

Натяжение увеличивается вверх по веревке, так как частицы постепенно несут больший общий вес. Только в частном случае безмассовых частиц — безмассовой веревке — это не так, поскольку большее количество частиц не добавляет дополнительного веса.

Надеюсь, вы можете понять это следующим образом: смотрите, если объект не имеет массы ($m=0$), по второму закону движения Ньютона, если мы приложим силу к объекту, ускорение не может быть определено. (Что-то разделить на$0$не определено.) Таким образом, результирующая сила, действующая на объект, должна быть равна нулю, чтобы тело имело конечное определенное ускорение. Итак, в случае безмассовой веревки результирующая сила на веревке должна быть равна нулю, а результирующая сила на каждой маленькой части (элементе) веревки должна быть равна нулю, так что везде натяжение будет одинаковым, скажем$T$. Теперь, если у вас есть веревка с массой (как в реальных условиях), маленький элемент также испытывает гравитационную силу земли! Таким образом, напряжение в каждой точке будет разным, обычно увеличиваясь по мере продвижения вверх.

Непостоянное натяжение возникло бы в веревке, свисающей с неподвижной опоры, если бы она имела «незначительную» массу. Сначала давайте обсудим, почему такая вариация обнаруживается в напряжении. Скажем, вы берете низ веревки за начало координат и рассматриваете элемент длины$dx$На расстоянии$x$Снизу. Теперь анализируем его диаграмму свободного тела:

Теперь давайте проанализируем соответствующую математику. Как вы можете видеть, элемент веревки находится в равновесии, следовательно, у нас должна быть «НУЛЕВАЯ» результирующая сила на нем. Следовательно, у нас есть$T+dT-T = \lambda g dx$что приводит нас к

Приведенное выше выражение при упрощении дает нам$T(x) = \lambda gx_{0}$которая является линейной функцией$x$(при условии, что линейная массовая плотность постоянна).

Подобная интуиция может нам очень помочь. Для того же элемента разделите веревку на две части одну над ней и одну под ней. Мы видим, что верхняя масса должна поддерживать вес, равный весу нижней части (поскольку масса элемента незначительна), и, следовательно, мы можем прийти к тому же результату.

Другие ответы здесь адекватны, но мне нравится следующее умственное упражнение, чтобы продемонстрировать натяжение веревки из-за собственного веса.

Начните с того, что вы знаете; невесомая веревка упражнения по физике; везде одинаковое напряжение, скажем, при подвешивании груза в 10 Н к фиксированной точке прямо над ним, и он находится в состоянии покоя, в равновесии.

Мы хотим превратить это в настоящую веревку, но медленно, по одной маленькой части за раз; как превратить квадрат в круг, добавив больше сторон.

Теперь настоящая веревка имеет массу$M_r$распределяется по его длине$L_r$так что любая длина веревки$dL$будет иметь эквивалентную массу$dM$

Итак, в первую очередь, чтобы рассчитать натяжение в верхней части веревки, вы просто добавляете вес веревки.$F_w=M_rG$в основании веревки вместе с силой 10 Н, это помогает, теперь вы знаете, сколько вместе весят веревка и груз.

Но тогда вы знаете, что масса веревки распределяется по всей длине веревки, а не вся на конце, так что это не очень реалистично.

Таким образом, вы разбиваете массу на 2 части.$\frac{M_r}{2}$, и поместите один в конце, один в середине; медленно поправляется.

Сейчас; натяжение в верхней части веревки по-прежнему правильное, так что это хорошо, но натяжение между двумя массами отличается. Должно быть, нижняя часть струны больше не поддерживает половину массы струны, поэтому она должна быть меньше.

Затем вы можете взять эту концепцию и работать с ней, каждый раз, когда вы разбиваете эту массу на более мелкие куски и распределяете по струне, натяжение меняется в зависимости от того, сколько кусков находится выше или ниже точки, в которой вы измеряете натяжение.

Я надеюсь, что это дало вам более интуитивное представление о эффекте непрерывного распределения массы вдоль струны и его влиянии на результирующее натяжение струны.

Как всегда, рад ответить на любые дополнительные вопросы.

Если тянуть за невесомую веревку с обоих концов, то натяжение в каждой точке должно быть одинаковым. Почему?

Потому что результирующая сила на любом отрезке струны должна быть равна нулю, потому что это безмассовый объект, и, следовательно, натяжение должно быть одинаковым в каждой точке.

В струне с массой мы можем приложить две разные силы к двум концам струны, из-за чего она имеет результирующее ускорение.

Теперь Натяжение в любой точке должно быть таким, чтобы оно могло объяснить ускорение массы этого сегмента струны.

Предположим, струна имеет длину L и постоянную плотность массы g. Теперь вы прикладываете силу F справа. Ускорение всей струны равно (F/gL).

Если вы хотите найти натяжение на расстоянии L/4 справа. Что это будет?

F - T = ma i. e T = F - (gL/4)*(F/gL) = 3F/4.

Вы берете другое расстояние, и натяжение будет другим, потому что оно тянет за собой другую длину струны.

Думайте о строке как о множестве блоков с небольшими звеньями, прикрепленными между ними.

Представьте себе веревку, имеющую конечную массу, помещенную в свободное от гравитации пространство и имеющую постоянную скорость. Теперь возьмите веревку в качестве вашей системы и приложите внешнюю силу к одному концу веревки, тогда веревка будет испытывать некоторое натяжение в точке приложения. силы. Поскольку веревка - это система, натяжение - это внутренняя сила. Теперь вся веревка будет иметь одинаковое ускорение. В точке приложения силы представьте себе бесконечно малый участок веревки, по третьему закону Ньютона мы знаем, равная и противоположная сила на агенте, применяющем силу. Поскольку вся веревка вынуждена двигаться с этим бесконечно малым сечением,тогда этот участок будет прикладывать силу к соседнему бесконечно малому участку веревки, но эта сила будет меньше, чем сама внешняя сила, поскольку участок точки приложения внешней силы сам ускоряется, а ускорение всей веревки одинаково. Точно так же сила, приложенная этими бесконечно малыми участками, будет уменьшаться в определенном порядке, который можно рассчитать с использованием основ исчисления. Следовательно, натяжение веревки, имеющей конечную массу, не везде одинаково.