Путаница по поводу ковариантных и контравариантных векторов

Вы имеете дело с различными геометрическими объектами: касательными векторами, которые могут быть реализованы как классы эквивалентности кривых, и кокасательными векторами, которые могут быть реализованы как классами эквивалентности вещественнозначных функций (подумайте о дифференциалах).

Между этими объектами существует естественная линейная операция сопряжения: составьте кривую и функцию, и вы получите карту.$\mathbb R\to\mathbb R$. Возьмите его производную в рассматриваемой точке, и вуаля. Эта операция спаривания позволяет рассматривать пространства как «двойственные» и, в частности, отождествлять кокасательное пространство с пространством линейных функционалов на касательном пространстве.

Для заданной системы координат на многообразии координатные линии являются кривыми, дающими базис касательного пространства, тогда как компоненты координатной карты являются функциями, дающими базис кокасательного пространства. Легко показать, что эти базисы алгебраически двойственны, т. е. их спаривание дает дельту Кронекера.

На (псевдо)римановых многообразиях дополнительно имеется метрический тензор$g$, невырожденная билинейная форма. Этот тензор индуцирует изоморфизм$g^\flat:v\mapsto g(v,\cdot)$из касательной в кокасательное пространство («понижение индекса») с обратным отображением$g^\sharp$(«повышение индекса»).

Карта$g^\sharp$можно использовать, чтобы вернуть наш базис кокасательного пространства в касательное пространство, получив обратный базис. Компоненты вектора$v$относительно обратного базиса касательного пространства такие же, как компоненты ковектора$g^\flat v$относительно двойственного базиса кокасательного пространства. Это позволяет объединять векторы и ковекторы, но в настоящее время это считается плохой идеей.

Сказав все это, теперь перейдем к вашему актуальному вопросу:

Но если бы я взял вектор$V^{\mu}$и понизить индекс до ковектора$V_{\mu}$в плоском пространстве это, безусловно, не будет сложной сменой базовой матрицы, показанной в примере. Я что-то упустил здесь?

Метрика Минковского — это «сложное изменение базисной матрицы» — просто вы имеете дело с ортонормированным базисом, что делает его простым.

Когда вы понижаете индекс, вы находите совершенно другую сущность?

Да, это другая сущность.$V^\mu$являются компонентами вектора$\vec{V}$пока$V_\mu$являются компонентами одной формы$\tilde{V}$ двойной к$\vec{V}$с фундаментальной взаимосвязью

В итоге$\vec{V}$и$\tilde{V}$не являются одним и тем же объектом, поскольку они принадлежат разным векторным пространствам, но они связаны через метрику.

Обновление : чтобы подчеркнуть, что векторы и одноформенные формы — это разные геометрические объекты, рассмотрите следующее изображение и подпись из статьи Википедии « Одноформенные » .

Линейные функционалы (1-формы)$\mathrm{α, β}$и их сумма$\mathrm{σ}$и векторы$\mathbf{u, v, w}$, в трехмерном евклидовом пространстве. Количество гиперплоскостей (1-формы), пересекаемых вектором, равно скалярному произведению.

Я бы не увидел это так, как описал @Alfred Centauri. Что может быть из-за того, что я неправильно понимаю ответ/не понимаю математического значения различных сущностей здесь, но я вернусь к этому после того, как познакомлюсь с этой темой.

Есть физический вектор$\mathbf{V}$и этот вектор можно выразить относительно ко- или контравариантного базиса:

$\{ \mathbf{e_µ} \}$и$\{ \mathbf{e^µ} \}$просто разные основы, которые связаны$\mathbf{e_µ}\mathbf{e^\nu}=\delta_\mu^{~~\nu}$. Взаимная основа не зависит от$\{ \mathbf{e_µ} \}$, так же как и результирующие компоненты: поскольку они связаны соотношением$V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu$. Позвольте мне процитировать страницу википедии, на которую ссылается ОП по этому поводу:

В векторном пространстве$V$над полем$K$с билинейной формой$g : V × V → K$(который можно назвать метрическим тензором), между ковариантными и контравариантными векторами мало различий, поскольку билинейная форма позволяет отождествлять ковекторы с векторами. То есть вектор$v$однозначно определяет ковектор$\alpha$с помощью

$$\alpha (w)=g(v,w)$$ для всех векторов w. Обратно, каждый ковектор $\alpha$определяет уникальный вектор $v$по этому уравнению. Из-за этого отождествления векторов с ковекторами можно говорить о ковариантных компонентах или контравариантных компонентах вектора, то есть они являются просто представлениями одного и того же вектора с использованием обратных базисов.

Я согласен с @Alfred Centauri в том, что ко- и контравариантные векторы и компоненты не совпадают, но я не уверен, что могу называть их разными объектами. Это может быть моей ошибкой, потому что я действительно не знаю, что делать с «сущностями» в математическом контексте, но для меня это звучит слишком большой разницей между двумя столь тесно связанными объектами.

РЕДАКТИРОВАТЬ: после некоторых замечаний, сделанных @knzhou в комментариях, и после некоторого дополнительного чтения в современном учебнике (Wald) по GR (который немного отличается от «старой школы» конспектов лекций GR, из которых меня учили GR).

Я думаю, что современная точка зрения (как указал @Alfred Centauri) состоит в том, чтобы действительно различать векторы (контравариантные) и двойственные векторы (котангенс, ковариант). Уравнение и точки, которые я сделал выше, не различают векторы и двойственные векторы, и я выбрал (произвольный базис / метрику), чтобы подтвердить свою точку зрения. Цитата, которую я сделал, на самом деле описывает «близкие» отношения между обоими объектами, но на фундаментальном и базисно-метрическом независимом уровне они математически и геометрически различны. Между ними существует связь, но они являются разными объектами/разными сущностями.

Но если кто-то вводит базис/метрику, его можно использовать для

... установить однозначное соответствие между векторами и двойственными векторами. Действительно, при заданной метрике$g$мы могли бы использовать это соответствие, чтобы полностью обойти необходимость введения двойственных векторов. Обычно это делается, и это объясняет, почему концепция двойственных векторов не знакома большинству физиков. Однако в общей теории относительности мы будем решать метрику пространства-времени; поскольку метрика неизвестна с самого начала, важно, чтобы мы полностью четко различали векторы и двойственные векторы. [RM Wald, 1984, Общая теория относительности, с. 23]