Обобщение формулы дельта-функции Дирака в общей теории относительности

Дельта-функция Дирака по определению является не скаляром, а взвешенным тензором. То есть,

диффеоморфизм-инвариантен и равен$f(y)$.

Иногда истинная скалярная функция

используется.

1. Да, выражение ОП (2) верно. Коэффициент первого квадратного корня$\sqrt{g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\mu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\nu}}$в выражение (2) добавлено, чтобы сделать интеграл инвариантным при перепараметризации ограничения$\phi\to \phi^{\prime}$, а второй квадратный корень$\sqrt{|g|}$вставлен, чтобы сделать интеграл инвариантным относительно общих преобразований координат$x^{\mu}\to x^{\prime \nu}$.

2. Дельта-распределение Дирака$\delta(\phi(x))$в выражении (2) – обычное одномерное дельта- распределение Дирака по$\mathbb{R}$, где$\phi:M\to \mathbb{R}$является ограничением. Если$h:\mathbb{R} \to T^{\ast}\mathbb{R}\odot T^{\ast}\mathbb{R}$обозначает метрический тензор на$\mathbb{R}$, в принципе можно было бы обменять первый квадратный корень$\sqrt{g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\mu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\nu}}$в выражении (2) с множителем$1/\sqrt{h(\phi(x))}$.

Определение дельта-функции Дирака на многообразии зависит от того, как именно вы определяете вещи.

На ориентируемом многообразии вы можете определить либо тестовые тензорные поля либо как тензоры, либо как взвешенные тензоры веса.$-1$. В первом случае «дельта-функция» будет$\delta(x)$. Во втором случае будет$\delta(x) / \sqrt {-g}$. То же самое верно для всех тензорных распределений.