Почему в ОТО пространственно-временное многообразие должно быть дифференцируемым?

Чтобы иметь возможность даже определить метрику, вам нужны касательные векторы, поскольку они являются аргументами метрики, а чтобы иметь касательные векторы, вам нужна дифференцируемость.

Потому что если ваше многообразие не дифференцируемо (и даже тогда, по крайней мере,$C^3$), вы в конечном итоге занимаетесь нелинейной теорией распределения и вынуждены использовать алгебры Коломбо, и, поверьте мне, вы этого не хотите.

Основная проблема с недифференцируемыми многообразиями заключается в том, что, в отличие, скажем, от электромагнетизма, общая теория относительности не является линейной, что затрудняет понимание распределений. Вы заканчиваете тем, что задаете такие вопросы, как «Что такое$\delta(x)^2$?», на которые нет ответов в базовой теории распределений. Алгебры Коломбо — это современная структура для решения таких проблем, и вы можете найти для нее приложения, например, здесь .

Очень коротким ответом может быть то, что в общей теории относительности пространство-время может быть искривлено. Чтобы оценить, насколько оно искривлено, вы должны быть в состоянии рассчитать скорость изменения, что делается путем дифференцирования системы координат, которую вы используете для отображения каждой области пространства-времени, с которой вы имеете дело.

Если бы у вас была только одна карта координат, вам не нужно было бы переходить с одной карты на другую. Таким образом, вам не пришлось бы беспокоиться о том, был ли ваш переход непрерывным, дифференцируемым,$C^2$или гладкий.

Но если у вас два графика и нужны два графика, то на некоторых мероприятиях они будут на пересечении двух графиков. И на одном графике у вас может быть кривая, параметризованная собственным временем. И иметь векторное поле. А векторное поле может совпадать с касательной кривой и иметь метрическую длину, равную некоторой массе$m.$И все бы ничего, все в одной диаграмме и все производные и длины вычисляются в этой одной системе координат и метрике в одной системе координат.

Но вы можете представить себе выполнение аналогичной процедуры в другой системе координат. Все было бы так же хорошо.

Но как насчет перекрытия? Если одна система координат для перекрытия говорит, что векторное поле касается мировой линии, согласится ли другая система? Нет.

В общем не будет. Он может даже не согласиться с тем, что мировая линия имеет касательную во всех случаях, о которых говорил другой. Но если карты перехода дифференцируемы, то они согласуются.

Если карты перехода являются вторыми дифференцируемыми, то две диаграммы могут согласовать, совпадают ли вторые производные. Это важно для ОТО, потому что существуют физические тензоры, такие как тензор Эйнштейна, которые соответствуют вторым производным. Вы хотите, чтобы две диаграммы пришли к соглашению о том, существует ли тензорное поле второго ранга и является ли он тензором Эйнштейна.

Есть простой вывод:

Искривление пространства-времени является результатом гравитации. Гравитация — это сила. Сила гравитационного поля постоянно уменьшается с увеличением радиуса пропорционально квадрату радиуса. Соответствующая функция непрерывна и дифференцируема.

Как только мы увидели, что функция гравитационной силы (и, следовательно, кривизны пространства-времени) дифференцируема по отношению к одному объекту массы и по отношению к одному направлению (одному измерению), мы можем без проблем распространить это понимание на вселенную с несколькими объектами массы и несколько измерений пространства. Короче говоря: поля вообще дифференцируемы, и кривизна пространства-времени может быть ассимилирована.