Образуют ли медианы (или другие чевианы) все треугольники?

Из статьи Википедии о медиане длины медиан с точки зрения длины сторон:

$m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

$m_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}$

$m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Решение для$(m_a,m_b,m_c)$с точки зрения$(a,b,c)$дает:

$a = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_b^2+2m_c^2-m_a^2}$

$b = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_c^2+2m_a^2-m_b^2}$

$c = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_a^2+2m_b^2-m_c^2}$

Таким образом, для любых желаемых медианных длин$(m_a,m_b,m_c)$, мы можем найти длины сторон$(a,b,c)$такой, что треугольник с длинами сторон$(a,b,c)$имеет медианы длины$(m_a,m_b,m_c)$.

Площадь треугольника находится по формуле:

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \dfrac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}$,

где$s = \dfrac{a+b+c}{2}$и$\sigma = \dfrac{m_a+m_b+m_c}{2}$.

Отсюда мы видим, что$(a,b,c)$удовлетворяет неравенству треугольника тогда и только тогда, когда$(m_a,m_b,m_c)$удовлетворяет неравенству треугольника. (Если бы какая-либо тройка не удовлетворяла неравенству, соответствующая величина под радикалом была бы отрицательной).