Одиночный фотонный импульс и его электромагнитное поле

Я описываю временное распределение одиночного фотонного импульса в интерферометрическом эксперименте в вакууме с помощью функции Гаусса.$\psi$:

$$\psi(t) = \tfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \text e^{-\frac{t^2}{4\sigma^2}} \text e^{\text i \omega_0 t} \;.$$ нормализовано $$\int |\psi(t)|^2\text d t = 1\;,$$ а преобразование Фурье - это волновая функция в частотной области, $$\tilde \psi(\omega) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int \psi(t)\text e ^{-\text i \omega t}\text dt = \big(\tfrac{2\sigma^2}{\pi}\big)^{\frac 1 4} \text e^{-\sigma^2(\omega-\omega_0)^2}\;,$$ такой, что $|\tilde \psi(\omega)|^2$представляет частотное распределение фотона. Это, конечно, не мое изобретение, но я видел его во многих статьях, например, в ref1 или в ref2 . Интересно, что они всегда пренебрегают фазой $\text e^{\text i \omega_0 t}$в $\psi(t)$, но это другое дело.

Однако, поскольку единичный фотонный импульс по-прежнему является электромагнитным импульсом, существует ли какая-либо связь между$\psi(t)$и электрическое поле$E(t)$этого пульса? Как это

$$E(t) \sim \text{Re}[\psi(t)] \sim \text e^{-\frac{t^2}{4\sigma^2}} \cos(\omega_0 t) \; ?$$

Я знаю, что на самом деле существует концептуальная разница. Функция$\psi(t)$- амплитуда вероятности во временной области, тогда как$E(t)$настоящее электрическое поле. В светоделителе 50/50, например, электрическое поле будет разделено на две части, где обе части могут быть измерены, тогда как амплитуда вероятности$\psi(t)$, который также разделяется на две части, приведет к тому, что детекторы будут щелкать либо для переданной части , либо для отраженной части.

Итак, есть ли теперь связь между$\psi(t)$и электрическое поле$E(t)$или нет?

PS: Конечно, я знаю концепцию вторичного квантования и квантования электромагнитного поля. Но я никогда не понимал, как использовать это для описания одиночных фотонных импульсов в вакууме...