Оператор уничтожения в гармоническом осцилляторе

1. Оператор уничтожения является линейным оператором. Линейный оператор может применяться к ЛЮБОМУ состоянию. И да, он возвращает ноль при применении к основному состоянию.

2. Вы действительно можете принять это как определение. Определение оператора импульса$\hat{p}$оператор такой, что$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle=-i\hbar \psi'(x)$. Можно было бы написать это как$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle=-i\hbar \frac{d}{dx}\langle x| \psi\rangle$. «x» здесь не является константой, поэтому вы не применяете оператор к константе.

3. Физики любят злоупотреблять обозначениями. Если вы формализуете это, вы не сможете применять операторы (например,$\hat{p}$и$\hat{x}$и$\hat{a}$и$\hat{a}^\dagger$) к константам, вы можете применять их только к элементам в вашем гильбертовом пространстве.

4. Переход со второй строки на третью осуществляется путем фактического написания дифференциального уравнения$\psi_0'(x)=x \alpha \psi_0(x)$и решить его любым удобным для вас способом. (я предпочитаю "по наблюдению" :)

Формулировка «основное состояние в позиционном представлении определяется ...» немного странная, я согласен. На самом деле имеется в виду, что уравнение$a|0\rangle=0$, записанный в позиционном базисе, приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно довольно легко решить.

По пункту 2:

Операторы не всегда проходят друг через друга безошибочно, но есть несколько очень простых правил, которые всегда применяются, которые можно превратить в менее утомительные правила, которые применяются в особых случаях. Часто последние учат первыми, вызывая массовое замешательство.

Общее правило: Операторы могут быть выражены как

(Сумма по a в наборе собственных векторов) |a > собственное значение(a) < a|

Если имеется бесконечное число собственных векторов, то собственное значение должно иметь в себе дифференциальную величину, например «dx». Пример:

оператор x = интеграл по x: |x > x dx < x|

Если вы работаете с каким-то другим базисом, вы можете вместо этого выразить это как (Сумма по векторам a, b) |a > элемент-матрицы[a, b] < b|

Кроме того, всегда помещайте все эти интегралы полностью вперед . Так,

< х | p |Ψ> = (Интеграл по p ) < x|p > p dp < p | Ψ>

Вы можете переупорядочивать <x|p>, p , dp и <p|Ψ> по своему усмотрению, поскольку две скобки — это просто скаляры, а p — не оператор, а просто точка в импульсном пространстве, а dp — это дифференциальная величина импульсного пространства. Если у вас есть более одной векторной величины, вы ограничены в перемещении этих векторов так же, как и в обычной линейной алгебре (например, если вы переупорядочиваете векторное произведение, вам нужно его отрицать). Просто вещи вида <метка 1|метка 2> являются скалярами.

Возвращаясь к этому конкретному случаю, <x|p> = (константа, зависящая от размерности) e^{i*(p/ℏ)*(dot)x}. Попробуйте взять градиент < x | Ψ > и сравните, и вы увидите, что выходит так, что то, что вы сказали вначале, верно.

Тот же самый общий метод можно использовать, чтобы найти, как поменять местами другие операторы. Как правило, есть глубокие причины, по которым у них должны быть именно эти отношения. Например, импульс-в-измерении-1 ортогонален позиции-в-измерении-2, поэтому между этими терминами нет никаких взаимодействий, поэтому эти операторы могут свободно проходить друг мимо друга. Но между p и x есть отношения в одном и том же измерении, так что они должны что-то изменить на пути в прошлое.

По пункту 3:

Если a и c — состояния, а B — скалярный оператор, то

< а | B |c > является скаляром (см. выше)

B < a|c > — оператор. Этот оператор равен B, умноженному на скаляр, < a|c >. Это выражение не предполагает применения оператора ни к чему. Он просто масштабируется.