Падающие заряженные предметы: парадокс сохранения энергии?

Представьте, что мы начинаем с двух противоположно заряженных объектов на земле, разделенных расстоянием г , с оплатой + д , − д и массы м .

Мы поднимаем их обоих на высоту час .

При этом мы перемещаем их только с постоянной скоростью, чтобы ни один заряд не создавал излучающего электромагнитного поля вблизи другого.

Также предположим, что объекты одновременно движутся по полюсам без трения, так что их кулоновское притяжение всегда горизонтально и, следовательно, не играет роли в эксперименте.

Энергия, которую мы вложили в систему, просто:

Е г р а в "=" 2 м г час

Теперь мы одновременно отпускаем два объекта, и они снова падают на землю.

Сила тяжести или вес, м г , действует на каждый объект на расстоянии час так что мы получаем окончательную кинетическую энергию объектов, предполагая только влияние гравитации , определяемую как:

К Е г р а в "=" 2 м г час

Таким образом, мы, кажется, имеем энергетический баланс, как и ожидалось.

Но это не конец истории. Когда заряженные объекты ускоряются к земле, каждый из них создает излучающее электрическое поле на расстоянии г предоставлено:

Е р а г "=" − ± д 4 π ϵ 0 с 2 г г

Следовательно, на каждый объект действует дополнительная нисходящая сила, определяемая выражением:

Ф е м "=" д 2 4 π ϵ 0 с 2 г г

Поскольку эта сила действует на каждый объект на расстоянии час тогда дополнительная кинетическая энергия тел при достижении ими земли за счет взаимного действия их излучающих электрических полей равна:

К Е е м "=" 2 д 2 г час 4 π ϵ 0 с 2 г

Кажется, что мы получаем больше энергии, чем вкладываем в систему.

Что не так с этим расчетом?

Постскриптум

Марк Митчисон указал, что мне нужно найти ускорение для случая, когда действуют и электромагнитная сила, и гравитационная сила. Я не могу предположить, что это просто гравитационное ускорение г .

Позвольте мне попытаться составить уравнение движения для одного из объектов, где оба объекта имеют нисходящее ускорение. а .

У нас есть:

Ф "=" м а

Общая сила Ф на одном из объектов есть сумма гравитационной и электромагнитной составляющих:

Ф "=" м г + д 2 а 4 π ϵ 0 с 2 г

Если мы определим:

м е "=" д 2 4 π ϵ 0 с 2 г

тогда общая сила, действующая на объект, определяется выражением:

Ф "=" м г + м е а

Тогда уравнение движения:

м а "=" м г + м е а

Таким образом, ускорение а дан кем-то:

а "=" м г м − м е

Полная энергия, приобретаемая объектом под действием как гравитационной силы, так и электромагнитной силы при падении на расстояние. час затем:

Е "=" Ф час

Е "=" ( м г + м е ⋅ м г м − м е ) час

Е "=" м г час ⋅ м м − м е

Это больше энергии, чем м г час которые мы вкладываем в объект в первую очередь.

Так что парадокс остается в силе.

PS Если м е мало, то имеем:

Е ≈ м г час + м е г час

что согласуется с моим первоначальным расчетом выше, где я взял ускорение просто г .

Объекты движутся по полюсам? Каковы заряды этих столбов?
Ваше заявление о том, что К Е "=" 2 м г час Полученная кинетическая энергия верна только в том случае, если на заряды при падении не действуют никакие силы. Вы утверждали, что здесь это не так. В конце эксперимента полная кинетическая энергия + энергия в поле должны быть равны 2 м г час . Это следует как раз из закона сохранения энергии.
Столбы — это просто нейтральные столбы без трения, которые заставляют объекты двигаться только вертикально.
Сначала я рассчитываю кинетическую энергию объектов, обусловленную только гравитацией, чтобы показать, что существует энергетический баланс, если принимать во внимание только гравитацию. Когда силы, вызванные электрическими полями, складываются, мы получаем больше энергии, чем вкладываем.
@JohnEastmond Вы действительно не «выработали» кинетическую энергию. Вы только что записали (неправильное) выражение и предположили, что оно верно. Правда, что К Е "=" 2 м г час если объекты не заряжены, или, точнее, если на них не действуют никакие другие силы, кроме силы тяжести. Если они заряжены то нужно включать любое дополнительное ускорение из-за наличия электрических полей. Тогда вы обнаружите, что К Е ≠ 2 м г час . Вы также обнаружите, что энергия сохраняется, когда энергия поля правильно рассчитана и учтена.
Позвольте мне сказать по-другому. Вы не можете просто заниматься К Е г р а в и К Е е м а потом напиши К Е "=" К Е г р а в + К Е е м . Нужно учитывать действие всех сил на заряды одновременно при расчете их ускорений и последующих изменений энергии.
Я думаю, что ускорение должно определяться принципом эквивалентности Эйнштейна.
Я не очень понимаю, что вы имеете в виду. Вы уже указывали, что ускорение не g, потому что есть дополнительные электромагнитные силы. Пожалуйста, рассчитайте изменение энергии из-за ускорения от электрической и гравитационной сил, действующих одновременно. Вы увидите, что в этом нет никакого парадокса.
@MarkMitchison: Привет! Я думаю, что понимаю его. Ускорение от Земли равно г , и это не заботится о поле em. Есть сохранение гравитационной энергии, кинетической + потенциальной. Что же касается электромагнитного поля, то оно тоже производит ускорение, т. е. кинетическую энергию, но по своим отдельным законам сохранения между потенциальной и добавкой кинетической энергии. Каждое поле со своими законами сохранения.
Привет @MarkMitchison. Я пересчитал ускорение, как вы предложили - результаты приведены в постскриптуме выше. Насколько я вижу, парадокс остается в силе.
Я думаю, что вам также нужно включить силу реакции излучения, чтобы получить правильный ответ. Дополнительный импульс, придаваемый полю ускорением каждого заряда под действием силы тяжести, подразумевает соответствующий импульс обратного импульса для каждого заряда. Это должно быть в самый раз для восстановления энергосбережения.

Ответы (1)

Ваш мысленный эксперимент натыкается на важную идею электродинамики, которая совершенно нелогична. ЭМ поле, создаваемое зарядом в виде излучения, на самом деле создает реактивную силу на самом заряде.

Это известно как сила Абрахама-Лоренца , которая пропорциональна скорости изменения ускорения заряда.

В единицах СИ это дается,

Ф р а г "=" д 2 6 π ϵ 0 с 3 а ˙

Если эта сила также включена в ваше энергосбережение, она будет сохраняться.

Рекомендации

Авраам Лоренц Форс

Но ускорение силы тяжести g постоянно, поэтому заряженные объекты не должны ощущать никакой силы реакции Абрахама-Лоренца.
Вы не можете просто предположить, что она постоянна. Включите силу Абхарама в ваше уравнение силы, и мы получим ОДУ для а что не подразумевает а будучи постоянным.
Вы получаете экспоненциальную зависимость от а со временем таким образом, что а ˙ отрицательна, и, следовательно, силы Абрахама совершают отрицательную работу, сводя на нет положительную работу, проделанную м е а сила.
Если мы позволим а ˙ быть ненулевым изначально, тогда мы получаем нефизическое решение для разгона, которое растет экспоненциально.
Падающие заряженные предметы: парадокс сохранения энергии?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v