Как рассчитать электрические поля, вызванные токами магнитных диполей?

Поскольку, похоже, были некоторые сомнения в том, что электрическое поле усиленного магнитного диполя отлично от нуля, эта статья Хниздо (какое прекрасное имя!) может оказаться полезной. Раздел 3 явно вычисляет поле. Все это косвенно связано и с парадоксом Мансурипура.

Я думаю, что метод dj_mummy работает, но у него есть недостаток, заключающийся в том, что он требует вычислений для некоторого конечного числа.$l$и принять предел$l\rightarrow0$. Вот другая техника, которая позволяет этого избежать.

Векторный потенциал покоящегося магнитного диполя равен$A^\mu=(\phi,\textbf{A})$, с$\phi=0$и$\textbf{A}=\textbf{m}\times\hat{\textbf{r}}/r^2$. Сделайте форсирование Лоренца для этого вектора, и вы получите потенциал$A^{\mu'}$для движущегося диполя. На самом деле вас интересует только времяподобная составляющая этого, поэтому вам не нужно вычислять остальное. Проинтегрируйте это по всем диполям (каждый со своим положением и вектором скорости), а затем возьмите градиент, чтобы получить электрическое поле. Обратите внимание, что хотя электрическое поле$-\nabla\phi-\partial\textbf{A}/\partial t$, вторым членом можно пренебречь; интегрированная стоимость$\textbf{A}$постоянно в$\mu'$кадре, так как дипольный ток в этом кадре постоянен.

Другой способ приблизиться к этому, предложенный Артом Брауном в комментарии ниже, выглядит следующим образом. Гниздо показывает, что в достаточном приближении и без учета некоторых тонкостей, связанных с определением мультиполей, можно принять магнитный диполь$\textbf{m}$иметь электрические свойства, в лабораторной системе отсчета, характеризующиеся электрическим дипольным моментом$\textbf{p}'=\textbf{v}\times \textbf{m}$(в единицах с$c=1$). Это делает всю проблему похожей на прямую аналогию с идеей разработки закона Био-Савара путем сборки набора магнитных диполей, так что, хотя я не прорабатывал это подробно, похоже, что вы можете получить что-то, что является точным аналогом Закон Био-Савара.

Я думаю, что ваша предпосылка 3) с аргументом повышения Лоренца неверна. Давайте рассмотрим$A=0$случае ток магнитных диполей (ориентированных в$z$-направление), втекающее$x$-направление. Тогда магнитное поле НЕ меняется, а при фарадеевском$\nabla \times \ \vec E =-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$,$\nabla \times \ \vec E$обращается в нуль, поэтому динамическое электрическое поле отсутствует. Но статического электрического поля также нет по причинам симметрии (представьте, что ваши диполи направлены в$-z$направлении), и потому что нигде нет избытка электрического заряда.

(Такой аргумент симметрии может относиться и к предпосылке 2), так что было бы неплохо увидеть, как это работает в предельном случае, когда расстояние между зарядами стремится к нулю)

Думаю, все это относится и к синусоидальной форме.

[этот ответ был отредактирован, так как у меня нет прав комментировать]