Пертурбативный разогрев после инфляции в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Это. Основная картина состоит в том, что инфлатон ведет себя как осциллирующее классическое поле, которое можно представить более или менее как совокупность частиц с нулевым импульсом и массой.$m\sim \omega$где$\omega$- частота колебаний. В случае$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$частота определяется массой инфлатона,$\omega = m$. Единственное отличие в случае$V=\frac{\lambda}{4}\phi^4$в том, что колебание немного отличается. Теперь частота колебаний$\omega \sim \sqrt{\lambda}\Phi$. Итак, замена$m$с$\sqrt{\lambda}\Phi$в формуле для скорости распада мы ожидали бы что-то вроде

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\phi\rightarrow\chi\chi) \sim \frac{g^4\Phi}{\sqrt{\lambda}} \end{equation}$$

Если мы хотим получить более точный результат, нам нужно выполнить пертурбативное вычисление. Я изложил это ниже.

Производство частиц осциллирующим полем

Пренебрежем расширением Вселенной и предположим, что у нас есть классическое поле$\phi$который колеблется с периодом$T$и что он связан с квантовым полем$\chi$через взаимодействие$V_I = g^2\phi(t)\chi^2$. Мы можем разложить поле в гармонический ряд

$$\begin{equation} \phi(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \phi_n e^{-i n\omega t} \end{equation}$$ где $\omega = 2\pi/T$является ведущей частотой. Мы заинтересованы в производстве пары $\chi$-частицы из вакуума, поэтому мы хотим найти амплитуду перехода

$$\begin{equation} \mathcal A \equiv \langle \mathbf{k_1,k_2}|e^{-i\int\mathrm{d} t H_I}|0\rangle \simeq -ig^2 \int \mathrm{d}t\:\phi(t)\int \mathrm{d}^3\mathbf{x}\langle 0| \hat a_\mathbf{k_1}\hat a_\mathbf{k_2}\hat \chi^2|0\rangle. \end{equation}$$ Как обычно, мы подставляем выражение изображения взаимодействия для $\chi$

$$\begin{equation} \hat\chi = \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_k}}\left(\hat a_\mathbf{k}e^{-i\omega_k t + i\mathbf{k\cdot x}} + \mathrm{h.c.}\right), \end{equation}$$ где $\omega_k^2 \equiv k^2+m_\chi^2$, и для амплитуды перехода получаем

$$\begin{equation} \mathcal{A} = -\frac{2i\pi g^2\delta(\mathbf{k_1+k_2})}{\omega_{k}}\int \frac{\mathrm{d}t}{2\pi}\phi(t)e^{2i\omega_kt} \end{equation}$$ Подключаем наше гармоническое расширение для $\phi$мы получаем

$$\begin{equation} \mathcal{A} = -\frac{i\pi g^2}{\omega_{k}}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n\phi_n \delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ Тогда вероятность перехода

$$\begin{equation} |\mathcal A|^2 = (2\pi)^4\delta^4(0)\frac{g^4}{16\pi^2\omega_k^2}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ Как обычно, мы интерпретируем $(2\pi)^4\delta^4(0) = VT$как интеграл по всему пространству-времени, а вероятность перехода на объем в единицу времени равна

$$\begin{equation} \mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2}) = \frac{g^4}{16\pi^2\omega_k^2}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$

Распад осциллирующего поля

Мы можем рассчитать скорость затухания осциллирующего поля по закону сохранения энергии. Во время$\mathrm{d}t$и объем$V$мы рассчитываем создать$2\mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2})V\mathrm{d}t$частицы с энергией$\omega_k$. Поэтому изменение энергии равно$\mathrm{d}E = 2\omega_k\mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2})V\mathrm{d}t$. Следовательно, осциллирующее поле должно терять такое же количество энергии, чтобы

$$\begin{equation} \frac{\mathrm{d \rho_\phi(\mathbf{k_1,k_2})}}{\mathrm{dt}} = - \frac{g^4}{8\pi^2\omega_k}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ Это потеря энергии из-за образования пар двух $\chi$-частицы с импульсом $\mathbf{k_1,k_2}$. Полные потери энергии получаем интегрированием по импульсам

$$\begin{equation} \dot\rho_\phi = - \frac{g^4}{2\pi}\sum_n |\phi_n|^2\int_{m_\chi}^\infty \mathrm{d}\omega_k \omega_k\sqrt{1-\frac{m_\chi^2}{\omega_k^2}}\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) = - \frac{g^4\omega}{4\pi}\sum_{n=1}^{\infty} n|\phi_n|^2\sqrt{1-\frac{4m_\chi^2}{n^2\omega^2}} \end{equation}$$ Определим ширину затухания поля через $\dot\rho_\phi = -\Gamma \rho_\phi$. В пределе $m_\chi \ll \omega$скорость распада

$$\begin{equation} \Gamma = \frac{g^4\omega}{4\pi\rho_\phi}\sum_{n=1}^{\infty}n|\phi_n|^2 \end{equation}$$

потенциал$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$

Если инфлатон колеблется в гармоническом потенциале, то$\phi = \Phi\sin mt$для трилинейного взаимодействия и$\phi = \Phi^2\sin^2mt$для четвертого взаимодействия. Поэтому тривиально проверить, что для взаимодействий$V_I = g^2\sigma \phi\chi^2$и$V_I = g^2\phi^2\chi^2$получаем, соответственно,

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\rightarrow\chi\chi) = \frac{g^4\sigma^2}{8\pi m}, \qquad \Gamma(\phi\phi \rightarrow\chi\chi) = \frac{g^4\Phi^2}{16\pi m} \end{equation}$$

потенциал$V = \frac{\lambda}{4}\phi^4$

Если инфлатон колеблется в потенциале четвертой степени (без учета расширения Вселенной), уравнение движения для инфлатона имеет вид

$$\begin{equation} \ddot \phi + \lambda \phi^3 = 0 \end{equation}$$ который имеет решение

$$\begin{equation} \phi = \Phi \mathrm{cn}\left(\sqrt{\lambda}\Phi t, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{equation}$$ где $\mathrm{cn}(x,k)$- эллиптическая функция косинуса Якоби, которая имеет период $T=4K/\sqrt{\lambda \Phi^2}$, $K\equiv K(k)$является полным эллиптическим интегралом первого рода. Мы можем найти гармоническое расширение эллиптического косинуса, скажем, в Википедии. Коэффициенты

$$\begin{equation} \phi_n = 2\sqrt{2}\lambda^{-1/2}\Phi\omega \frac{e^{-\pi |n|/2}}{1+e^{-\pi |n|}} \end{equation}$$ для нечетных $n$и $\phi_n = 0$даже для $n$. Плотность энергии инфлатона равна $\rho_\phi = \frac{1}{4}\lambda\Phi^4$. Для взаимодействия $V_I = g^2\sigma\phi$тогда скорость затухания

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\rightarrow\chi\chi) = \frac{8g^4\sigma^2\omega^3}{\pi\lambda^2 \Phi^4}\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)\frac{e^{-(2n-1)\pi}}{\left(1+e^{-(2n-1)\pi}\right)^2} \simeq \frac{g^4\sigma^2\omega^3}{\pi^2\lambda^2 \Phi^4} = \frac{\sqrt{3}\pi^2}{K^3}\frac{g^4\sigma^2}{8\pi\sqrt{3\lambda \Phi^2}} \simeq 2.7 \frac{g^4\sigma^2}{8\pi m_\mathrm{eff}} \end{equation}$$ (сумма очень хорошо аппроксимируется $1/(8\pi)$). Частота колебаний инфлатона равна $\omega = 2\pi/T = \sqrt{\lambda}\Phi\pi/2K$а в последнем выражении мы определили эффективную массу квантов инфлатона $m_\mathrm{eff}^2 \equiv 3\lambda \Phi^2$. Таким образом, скорость распада несколько повышена по сравнению с конденсатом частиц. Для четвертого взаимодействия $V_I = g^2\phi^2\chi^2$мы должны расширить $\Phi^2\mathrm{cn}^2\left(\sqrt{\lambda \Phi^2}t,1/\sqrt{2}\right)$в гармоническом ряду. Я не знаю точного расширения, но мы можем сделать это численно:

$$\begin{equation} \phi^2(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{-in\omega t} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_n = \frac{1}{T}\int_0^{T}\mathrm{d}t\:\phi^2e^ {in\omega t} \end{equation}$$ Взяв всего пару ведущих членов, мы получим

$$\begin{equation} \Gamma(\phi \rightarrow \chi\chi) \simeq 0.5 \times \frac{g^4m_\mathrm{eff}}{8\pi\lambda} \sim \frac{g^4\Phi}{\sqrt{\lambda}} \end{equation}$$ как мы изначально и подозревали.

Расширение вселенной

До сих пор мы пренебрегали расширением Вселенной. В случае квадратичного инфлатонного потенциала$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$поведение инфлатона достаточно хорошо аппроксимируется выражением$\phi_0 a^{-3/2}\sin mt$а временной масштаб колебаний намного меньше времени Хаббла, поэтому мы можем просто заменить$\Phi\sim \Phi a^{-3/2}$. Это оставляет$\Gamma(\phi\rightarrow \chi\chi)$незатронутый в то время как$\Gamma(\phi\phi\rightarrow \chi\chi)$теперь масштабируется как$a^{-3}$, распадается быстрее, чем$H$, что означает, что этот процесс никогда не станет эффективным.

В случае потенциала четвертой степени мы можем перемасштабировать поля$\phi\rightarrow \phi/a$,$\chi\rightarrow \chi/a$и меняем нашу временную координату на конформное время$\mathrm d \tau \equiv a^{-1}\mathrm{d}t$в этом случае решение, которое у нас было раньше$\phi = \Phi \mathrm{cn}(\sqrt{\lambda\Phi^2}\tau,1/\sqrt{2})$по-прежнему действует и$\Phi$- амплитуда в начале колебаний. Теперь любой член четвертой степени по полям или квадратичный по производным масштабируется таким же образом,$\propto a^{-4}$, поэтому расширение Вселенной исключается (ситуация конформна случаю Минковского) и$\Gamma(\phi\phi\rightarrow \chi\chi)$остается неизменной, только теперь под ней понимается скорость распада в конформном времени (в космическом времени$\Gamma(t) = \Gamma(\tau)/a$).

Трилинейное взаимодействие$V_I = g^2\sigma \phi \chi^2$является более сложным. Поскольку у него всего три поля, он масштабируется как$a^{-3}$скорее, чем$a^{-4}$и тем самым тормозит конформную инвариантность. Тогда в перемасштабированных переменных взаимодействие принимает вид$V_I = g^2\sigma \phi(\tau)a(\tau) \chi^2$таким образом, классическое поле, ответственное за рождение частиц, имеет растущую амплитуду и перестает быть периодическим. Однако если предположить, что$a$изменяется очень медленно по сравнению с колебаниями, которые мы можем просто заменить$\sigma\rightarrow a\sigma$и так скорость распада идет$\Gamma\rightarrow a^2\Gamma$в конформное время ($a\Gamma$в космическое время).