Плоское трехмерное пространство, описываемое сферическими координатами VS искривленное пространство, являющееся поверхностью сферы

Я хотел бы спросить, есть ли способ узнать, является ли пространство плоским или искривленным, учитывая метрику, которая могла бы описать плоское пространство в криволинейных координатах или просто искривленное пространство.

Например, учитывая метрику, как я могу отличить плоское трехмерное пространство с метрикой, заданной в сферических координатах, и изогнутую поверхность сферы. Разве эти два случая не дадут одни и те же отличные от нуля компоненты тензора римановой кривизны?

PS Я только начинающий в общей теории относительности.

Было бы поучительно (хотя и утомительно) вычислить тензор Римана в двух упомянутых вами случаях. Вы обнаружите, что даже в сферических координатах все компоненты тензора Римана для плоского трехмерного пространства равны нулю. Это не так для сферы. В этом нет ничего удивительного — обычно можно «нарезать» плоское пространство на стопку криволинейных (гипер) поверхностей (в данном случае сфер радиусом р ). То, что эти поверхности сами по себе изогнуты, не означает, что все пространство искривлено!
@ gj255 Это довольно хорошее понимание, спасибо!

Ответы (1)

Эти два показателя не совпадают. Первая метрика

г с 2 "=" г р 2 + р 2 г Ом 2
а вторая метрика
г с 2 "=" р 0 2 г Ом 2
где р 0 постоянная, радиус сферы. Это разные количества; задействованные пространства даже не имеют одинакового количества измерений. Кривизна Римана первой метрики равна нулю, а кривизна второй - нет.

Вы правы, заключая, что первая метрика должна иметь нулевую кривизну, поскольку она связана с декартовыми координатами изменением координат, а кривизна является тензором. Но это ничего не говорит о второй метрике.

Вы можете подумать, что второй случай должен быть таким же, потому что сферу можно встроить в плоское пространство. Геометрическое отличие состоит в том, что векторы на сфере должны касаться сферы. Это означает, что параллельный перенос на сфере — это не то же самое, что параллельный перенос в пространстве вложения, поскольку в первом случае мы должны проецировать вектор обратно на сферу после каждого шага.

Плоское трехмерное пространство, описываемое сферическими координатами VS искривленное пространство, являющееся поверхностью сферы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 2v