Почему пространство-время Минковского в полярных координатах трактуется в текстах как плоское пространство-время?

Взяв трехмерный элемент линии пространства-времени Минковского в общей теории относительности:

г с 2 "=" − с 2 г т 2 + г Икс 2 + г у 2 + г г 2 ,

при рассмотрении перехода в сферические координаты приводит к:

г с 2 "=" − с 2 г т 2 + г р 2 + р 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ф 2 ) .

В нескольких книгах говорится, что это все еще евклидово плоское пространство-время, ибо это всего лишь замена координат, говорящая примерно о том же, что и в евклидовой плоскости... но мой большой вопрос заключается в том, с какой точки зрения это все еще плоское , так как связь Леви-Чивиты Г β λ α ибо это новое пространство-время не равно нулю для некоторых компонент. Являются ли эти символы равными нулю необходимым условием плоского пространства-времени?

Я еще не вычислил компоненты тензора Римана для полярных координат пространства-времени. Но легко видеть, что для декартовых координат они равны нулю. Если они были отличны от нуля, значит ли это, что отклонение геодезических, равное нулю, по-прежнему соблюдается? Насколько я помню, если компоненты тензора Римана р β мю ν α равны нулю, вы получаете нулевое отклонение и можете говорить об евклидовом, плоском пространстве-времени. Кроме того, я помню, что если скаляр Риччи р "=" 0 тогда и только тогда, когда задано плоское пространство-время. Я прав?

Кривизна задается тензором Римана, поэтому вы должны попытаться ее вычислить. Символы Кристоффеля также не равны 0 в полярных координатах евклидова пространства. Вам нужна связь в обычных полярных координатах. Если пространство плоское в некоторых координатах, оно должно быть плоским, но это не значит, что вашим координатам не нужна связь.
Кривизна получается из метрики. Если вы не изменили метрику, вы не изменили кривизну.
Существуют такие термины, как плоскость Римана, плоскость Риччи и скалярная плоскость, каждый из которых означает немного разные вещи (что несколько очевидно по названию). Тот факт, что Кристоффель отличен от нуля, не означает, что многообразие плоское.

Ответы (1)

При изменении координат метрика может изменить форму, но по сути это то же самое многообразие, с которым вы имеете дело, а скаляры кривизны являются инвариантами диффеоморфизма.

Пока Г б с а ≠ 0 , пространство Минковского в любой системе координат имеет р б с г а "=" 0 . Чтобы убедить себя без расчетов, рассматривайте изменение координат как перемаркировку позиций. Вместо сетки вы можете использовать сферическую систему координат, но точки, которые вы помечаете на поверхности, не перемещаются. Расстояние между любыми двумя остается одинаковым.

Понятие кривизны должно быть независимым от какой-либо системы координат, поскольку это то, что мы навязываем многообразию, а не внутреннее свойство.

Почему пространство-время Минковского в полярных координатах трактуется в текстах как плоское пространство-время?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v