Почему безопасно предположить, что K = 3/2kT в самогравитирующем газе

Я буду использовать некоторые концепции из статистической механики, надеюсь, вы знакомы с некоторыми из них.

Рассмотрим газ$N$частицы массы$m$с функцией Гамильтона

$$H(\bar{q}, \bar{p}) = \sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} + U(\bar{q})$$

Здесь,$\bar{q} = (\vec{q}_1,\vec{q}_2,... \vec{q}_N)$- положение частиц и$\bar{p} = (\vec{p}_1,\vec{p}_2,... \vec{p}_N)$являются их импульсами.$U(\bar{q})$это потенциал, это может быть, например, гравитационный потенциал:

$$U(\bar{q}) = {1 \over 2}\sum_{i \neq j} G{m^2 \over |\vec{q}_i-\vec{q}_j|}$$

Если температура$T$фиксируется, это означает, что мы можем работать в Canonical Ensemble и вероятность того, что наша система находится в той или иной конфигурации$(\bar{q}, \bar{p})$дан кем-то

$$\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) = \frac{e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}{\displaystyle \int {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!} \ e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}$$

где$\beta = {1 \over k_B T}$.

Средняя кинетическая энергия системы получается интегрированием кинетической энергии по распределению

$$\left< K_E \right> = \displaystyle \int K_E(\bar{p})\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!} = \displaystyle \int \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!}$$

Теперь, так как$K_E$не зависит от$\bar{q}$, мы можем разделить интеграл на две части: одну по импульсам и одну по позициям.

$$\left< K_E \right> = \frac{\displaystyle \int d\bar{q}d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}{\displaystyle \int d\bar{q}d\bar{p}\ e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}} = \frac{\displaystyle \int d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)e^{-\sum_{i=1}^N \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}}{\displaystyle \int d\bar{p}\ e^{-\sum_{i=1}^N \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}} \frac{\displaystyle \int d\bar{q}e^{-\beta U(\bar{q})}}{\displaystyle \int d\bar{q}\ e^{-\beta U(\bar{q})}}$$

Интеграл на$\bar{q}$упрощается, и поэтому средняя кинетическая энергия не зависит от потенциала . Продолжая расчет, находим

$$\require{cancel}\left< K_E \right> = \frac{\displaystyle \int d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)\prod_{i=1}^N e^{- \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}} {\left( \displaystyle \int d\vec{p}\ e^{-\beta{|\vec{p}|^2 \over 2 m}}\right)^N} = {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp {p^2 \over 2 m} e^{- \beta{p^2 \over 2 m}}} \frac{3N \left(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp\ e^{- \beta{p^2 \over 2 m}}\right)^{\cancel{3N}-1}} {\cancel{\left(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp\ e^{-\beta{p^2 \over 2 m}}\right)^{3N}}}$$

Интегралы Гаусса легко решаются и дают

$$\left< K_E \right> = 3N {\sqrt{2\pi m} \over 2}(k_BT)^{{3\over 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi m k_B T}} = {3 \over 2}Nk_BT$$

Я знаю, что эти расчеты могут показаться громоздкими, если вы никогда их не видели. Не стесняйтесь спрашивать разъяснений по отрывкам, которые я сделал слишком поспешно.