Как показать, что критерий Джинса для массы, радиуса и плотности эквивалентен?

Что вы хотите сделать, так это использовать соотношение между массой, радиусом и плотностью. Правильное выражение должно быть

$$\rho_c = \frac{M_c}{(4/3) \pi R_c^3}$$

Ваши три состояния джинсов:$M_c > M_J$,$R_c > R_J$, и$\rho_c > \rho_j$. Используя приведенное выше соотношение, вы можете преобразовать любое из трех условий в одно из других.

Например, переход от$M_c > M_J \rightarrow R_c > R_J$делается следующим образом.

$$M_c = \frac{4}{3}\pi R_c^3 \rho_c > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{1/2}$$

Теперь, решая для$R_c$дает

$$R_c^3 > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{3/2}$$

$$R_c > (\frac{15kT}{4 \pi G \mu m_H \rho_c})^{1/2} \equiv R_J$$

Аналогичным образом выполняются и другие преобразования.