Почему группа Лоренца использует сложные генераторы в КТП? [дубликат]

В книгах Шварца и Пескина по КТП при попытке иметь дело с представлениями группы Лоренца авторы изучают представления алгебры Ли такой группы.

По определению, если$SO(1,3)$— группа Лоренца, алгебра Ли —$\mathfrak{so}(1,3)$определяется как множество всех левоинвариантных векторных полей на$SO(1,3)$что, в свою очередь, эквивалентно касательному пространству в единице$SO(1,3)$.

Сейчас,$SO(1,3)$является реальным многообразием. Следовательно, его касательное пространство в начале координат является вещественным векторным пространством.

Во всяком случае, в книгах говорится, что в этой алгебре Ли есть элементы, называемые генераторами, определяемыми некоторыми комплексными матрицами.$J_i$и$K_i$такой, что любой элемент группы

и такой, что

Здесь что-то совсем не так. Есть два основных момента, которые я заметил:

1. Как могут элементы$\mathfrak{so}(1,3)$быть комплексными матрицами, если это реальное векторное пространство? Матрицы обязательно должны быть реальными. Разве что где-то спрятано усложнение, но в книгах это не разъясняется. Если это так, то где и почему используется комплексификация?

2. Неверно, что все элементы группы можно восстановить возведением в степень, если я не ошибаюсь. Я действительно не очень хорошо это помню, но утверждение, что все элементы имеют такую ​​форму, кажется неверным. Кроме того, известное мне возведение в степень — это карта$\exp : \mathfrak{so}(1,3)\to SO(1,3)$определяется

   $$\exp(A)=\phi^{X^A}_1(e),$$

   где$X^A$- ассоциированное левоинвариантное векторное поле,$\phi^{X^A}_t$это его течение и$e\in SO(1,3)$является личностью. Если я не ошибаюсь, эта экспоненциальная карта не сюръективна. На каком основании автор утверждает, что любой групповой элемент имеет такую ​​форму?

В заключение, как связать представленный автором подход физиков с обычной теорией групп Ли/алгебр Ли?