Я читаю некоторые вводные материалы по теории представлений в применении к физике, и я немного запутался в некоторых вещах. Я использую книгу «Алгебра Ли в физике частиц» Джорджи (вы можете найти ее здесь ), а часть, в которой я запутался, — это часть 1.16, где он находит нормальные моды для 3 частиц, соединенных пружинами, образующих треугольник. Поэтому я хочу понять, как все это работает.
Насколько я понял, вы находите симметрию системы и выбираете правильные размеры для представления (в данном случае 6D и S3). Затем вы получаете характеры матриц в этом представлении и вычисляете проекторы на пространство неприводимых представлений. Теперь я немного потерян. Как получить нормальные моды (или, вообще говоря, собственные векторы, связанные с определенным неприводимым представлением, из операторов проектора). Что касается операторов проекции, связанных с одномерным представлением, я думаю, что понимаю, поскольку они являются просто произведением между столбцом и вектором-строкой, которые охватывают пространство этого представления. Но для проектора на представления более высокого измерения я совершенно потерян.
Более того, я не уверен, что понимаю, что мне нужно делать, когда одно и то же представление появляется несколько раз. Почему у нас есть только оператор проекции для обоих? Шестимерные векторы (в данном случае), образующие пространство, на которое действует каждый из них, различны. Поэтому я был бы очень признателен, если бы кто-то мог дать мне более четкое объяснение всего этого. Спасибо!
Первый шаг — получить любой вектор в каждом непредставлении, и это то, что проекторы могут сделать для вас. Если нерепрезентация является одномерной, этого достаточно, но, как вы указываете, когда нерепрезентация имеет большую размерность, проектора символов недостаточно для завершения расчета.
Если у вас есть одно состояние в иррепе размерности больше 1, вам нужно воздействовать на это состояние с оставшимися элементами группы, чтобы сгенерировать все векторы в пространстве и построить ортонормированный базис из этих векторов. Крайне важно, чтобы вы действовали с операторами группы, поскольку они гарантированно не выведут вас за пределы вашей непредвзятости.
Теперь, чтобы получить собственные векторы, вам нужно выбрать операторы для диагонализации. Если нерепрезентация равна 1-d, это происходит автоматически, поскольку все операторы действуют путем умножения. Для -размерность независимо от вам нужно будет выбрать подмножество взаимно коммутирующих операторов, чтобы получить собственные векторы, поскольку не абелева. Коммутирующие операторы обычно берутся как тождественные и : они имеют различный спектр, поэтому достаточно получить общие собственные векторы. (Эта часть крайне неясна из обсуждения в Georgi; мне пришлось бы прочитать все это, чтобы разобраться в обозначениях.)
Оператор проектирования зависит только от повторений, а не от их кратности. В результате оператор проецирования даст вам одно базисное состояние за один повтор, но этого не всегда достаточно, чтобы получить все базисные состояния, особенно если повторений несколько. Обычно лучше действовать путем диагонализации, выбирая еще раз набор коммутирующих операторов. Когда у вас есть несколько копий иррепа, у вас будут вырожденные собственные значения; вырожденное подпространство имеет ту же размерность, что и кратность собственных значений, поскольку представление эквивалентно унитарному представлению. Как и во всех проблемах с вырождениями, не существует единственного способа выбора собственных векторов. Один из вариантов — выбрать первый вектор, полученный проектором, но это не всегда хороший выбор:
В любом случае, построив один собственный вектор в каждом иррепутации и убедившись, что эти начальные векторы ортогональны, вы можете затем продолжить и построить другие в том же иррепутации по одному иррепутации за раз, воздействуя на начальный вектор этого иррепутации с помощью групповых элементов, тем самым гарантируя, что вы не выйдете из иррепа.
Когда дело доходит до группы перестановок, существуют естественные цепочки подгрупп и «трюки» с использованием операторов класса: хорошим справочником по этому вопросу является текст Чена, Пина и Ванга. Существует также метод симметризаторов Юнга, который будет работать для любого неравенства; подробности можно найти в тексте Wu-Ki Tung.