Почему JPL использует это выражение для имитации орбит Шварцшильда?

Из документации «Формулировка наблюдаемых и вычисляемых значений типов данных сети дальнего космоса для навигации» выражение 4-61 на странице 4-42 видно, что JPL использует следующее выражение для учета эффектов относительности в условиях Шварцшильда:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2})\hat{r}+\frac{4GM}{r^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\frac{v^2}{c^2}\hat{r}$

Когда я использую это выражение в интеграторе, оно правильно воспроизводит «аномальную прецессию перигелия». Однако в решении Шварцшильда в координатах Шварцшильда вы должны получить ту же орбитальную скорость на круговой орбите, что и классически. Кроме того, начальное ускорение, когда вы бросаете объект из состояния покоя, должно быть таким же, как и классически (я полагаю). Это выражение JPL не выполняет этого ^† . Кто-то сказал мне, что JPL использует изотропные координаты вместо координат Шварцшильда и что это может быть следствием этого, но мне это кажется странным.

Если вы используете концепцию «релятивистской массы», которая достаточно хорошо работает для расчета релятивистского ускорения заряженной частицы под действием силы Лоренца, в гравитации вы получите:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

Это может генерировать только одну треть смещения перигелия, но выражение лучше, чем выражение JPL в том смысле, что оно воспроизводит правильные значения для орбитальной скорости и начального ускорения покоящегося объекта ^† . Обманывая и вставляя коэффициент три:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-3\frac{v^2}{c^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$

вы получаете выражение, которое воспроизводит правильное смещение перигелия, а также правильную орбитальную скорость объекта на круговой орбите и начальное ускорение покоящегося объекта.

^† Условие кругового движения$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$, радиальной части движения нет. Затем вы устанавливаете условия ускорения, которые не исчезают в течение$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$равно$v^2/r$, центробежное ускорение и решить. Вы видите, что в случае отсутствия движения,$v=0$, а в случае отсутствия радиального движения второе и третье приведенные выше выражения сводятся к классическому ньютоновскому гравитационному ускорению, которое ожидается также из решения Шварцшильда в координатах Шварцшильда, но не из «выражения JPL». Я был бы очень рад, если бы кто-нибудь из JPL мог сказать мне, почему вы используете первое выражение выше. В документации есть рудиментарный вывод выражения, но он довольно высокого уровня и не так прост для понимания.

Обратите внимание, что согласно JPL$v = \sqrt{GM/R}$больше не верно для круговой орбиты, но вместо этого у вас есть ^† :

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}\frac{(1-4GM/(rc^2))}{(1-GM/(rc^2))}}$

Также при сбросе объекта из состояния покоя, согласно JPL, ускорение происходит следующим образом:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(1-\frac{4GM}{rc^2})\hat{r}$

Из этого последнего выражения мы на самом деле видим, что Лаборатория реактивного движения во всех своих расчетах эфемерид на самом деле использует небольшой гравитационный термин «отрицательный обратный r-куб», что немного странно.

Вопросы:

1. Почему JPL использует первое выражение выше, а не что-то похожее на третье?

2.Какое правильное выражение для орбитальной скорости тела в круговом движении согласно JPL?

3.Каково правильное начальное ускорение покоящегося объекта согласно JPL?

Буду очень рад получить ответы.

Орбиты сильного поля

Я потратил много времени, просмотрел старую запутанную статью , пытаясь придумать какое-то физическое объяснение того, почему, по крайней мере, в пределе слабого поля, третье вышеприведенное выражение должно быть верным, экспериментируя с «общерелятивистской массой» тип$\gamma(r,v)$вместо того, чтобы просто$\gamma(v)$но у меня не совсем получилось. Если вы вставите$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$в$\frac{d(m\gamma\bar{v})}{dt}=-\frac{GMm\gamma}{r^2}\hat{r}$вы в конечном итоге с$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(\hat{r}-3\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})} +\frac{v^4(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^4(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\right)$.

В пределах сильного поля это выражение приводит к орбитам, как показано ниже, где зеленый кружок представляет радиус Шварцшильда, а красный кружок представляет радиус «самой внутренней стабильной круговой орбиты», расположенной на расстоянии трех радиусов Шварцшильда. Результат аналогичен тому, что ожидается от GR.

Если вы используете формулу JPL в пределе сильного поля, вы можете получить очень странные эффекты «подпрыгивания», как показано ниже, это из-за отталкивающего обратного члена r-куба:

Это совсем не то, что ожидают от GR. Я понял, что существует версия формулы JPL более высокого порядка , которая включает привлекательную обратную$r^4$термин, а также отталкивающая инверсия$r^5$срок. Тем не менее, я думаю, что очень странно имитировать ОТО с помощью отталкивающего$r^3$срок, и я действительно не знаю причину, по которой это является обычной практикой.